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FBG传感器的中心波长如公式(1)所示:
$${\lambda _{\rm{B}}} = 2{n_{\rm{e}}}\varLambda $$ (1) 式中:
${\lambda _{\rm{B}}}$ 为FBG中心波长;$\varLambda $ 为相位掩膜光栅周期;${n_{\rm{e}}}$ 为有效折射率。机械应变或温度变化影响反射波长,导致测量的波长$\lambda $ 相比于FBG的参考波长${\lambda _{\rm{B}}}$ 发生偏移,如公式(2)所示:$$\Delta \lambda = \lambda - {\lambda _{\rm{B}}}$$ (2) 如果FBG的参考波长未知,则必须在对光纤系统不施加应变的情况下,通过测量来确定。
在布拉格光栅中施加应变
$\varepsilon $ 或改变温度$\Delta T$ 所引起的波长偏移量$\Delta {\lambda _{\rm{B}}}$ ,如公式(3)所示:$$\Delta \lambda {\rm{ = }}{\lambda _{\rm{B}}}\left( {\left( {1 - {p_{\rm{e}}}} \right)\varepsilon + \left( {{\alpha _\varLambda } + {\alpha _n}} \right)\Delta T} \right)$$ (3) 式中:
${p_{\rm{e}}}$ 为光弹性系数;${\alpha _\varLambda }$ 和${\alpha _n}$ 为热膨胀系数和热光系数。假设温度恒定的情况下即$\Delta T = 0$ ,则光纤光栅受到的应变可表示为:$$\Delta {\lambda _b} = {\lambda _b}(1 - {p_{\rm{e}}})\varepsilon $$ (4) 光弹性系数与应变灵敏度系数
$GF = 1 - {p_{\rm{e}}}$ 直接相关。光弹性被定义为反射波长随轴向应变而发生的变化。对于FBG系统,光弹性系数通常取${p_{\rm{e}}} \approx 0.22$ 。 -
七芯光纤光栅传感器结构如图1所示。当计算每个FBG阵列的曲率和角度时,可以通过插值确定每个光栅测点间的中间值。目前,三次样条插值是最好的解决方案,也是插值效果最好的插值方法。曲率的内插较为简单,因为它对于每种形状都是连续的;对于角度内插,由于柔性结构在发生形变时存在不连续的角度,所以对角度插值较难实现;而应变是连续变化的,因此文中采用对应变进行插值的方式来计算得到曲率和角度。
曲率和方向角的计算取决于光纤系统,最常见的一种配置方式是FBG系统的三个纤芯之间呈120°等间隔分布,如图2所示。
在这种配置方法下,应变、曲率和方向角之间的关系如公式(5)所示:
$$\begin{array}{l} {\varepsilon _a} = - k{r_a}\sin \left( \varphi \right) + {\varepsilon _0} \\ {\varepsilon _b} = - k{r_b}\sin \left( {\varphi + {\gamma _a}} \right) + {\varepsilon _0} \\ {\varepsilon _c} = - k{r_c}\sin \left( {\varphi + {\gamma _a} + {\gamma _b}} \right) + {\varepsilon _0} \\ \end{array} $$ (5) 公式(5)表明,曲率受半径
${r_x}$ 的影响与受光弹性系数的影响类似。其中${\varepsilon _x}$ 是应变,${r_x}$ 是半径,${\gamma _x}$ 是纤芯之间的角度。通过解方程组,可以得到曲率$k$ 、方向角$\varphi $ 和应变偏差${\varepsilon _0}$ ,应变偏差用来补偿由其他因素(如温度变化、附加轴向应变和压力)产生的影响,由于每一个FBG阵列中纤芯之间的距离都较短,可以假设对于一个阵列中的每个光栅,其受到的影响都等于应变偏差${\varepsilon _{\rm{0}}}$ ,并可由此补偿。该方程组还可以扩展至四根或更多根纤芯的光纤系统中。文中提出的FBG柔性线状曲率检测单元,其中心轴线弯曲形状可以近似地看作一条空间曲线,因而其形状的重构就可以转化为空间三维曲线的重构问题。曲率测量平面随着线状结构的弯曲而不断变化,其上各个点的位置也不断变化,因而可沿着线状结构弯曲变化的方向建立运动坐标系,利用空间曲线的重构算法实现三维空间形态重构[11-12]。基于上述思想,在弯曲变化的空间曲线上建立随曲线变化的刚体运动坐标系,如图3所示。
图3中,假设
$ {O}_{1}、{O}_{2}、{O}_{3}$ 分别为一条空间曲线上沿弯曲方向的三个点,以${O_1}$ 为坐标原点建立固定坐标系,将曲率看成与切向量垂直的矢量,以${O_1}$ 点处曲线的切线方向为c轴,正交的曲率方向为a、b轴,则可建立点${O_1}$ 的运动坐标系,且两个坐标系重合。${k_1}$ 是正交曲率${k_{a1}}$ 和${k_{a2}}$ 的合成矢量,它与c轴构成的面为密切平面${\pi _1}$ 。假设${O_1}{O_2}$ 圆弧段极小且扭曲状态可以忽略不计,则该圆弧段可看作是密切平面${\pi _1}$ 上的曲线。以同样的方法在${O_2}$ 点建立运动坐标系,根据该微小弧段的弧长和该处的曲率计算出${O_2}$ 点在密切平面${\pi _1}$ 上的位置,进一步获得其在固定坐标系中的位置,这样就可以通过在不同密切平面上连接不同半径的微圆弧段而重构出整条空间曲线。 -
所确定的曲率和角度会受到各种变量的影响,因此进行以下校正:曲率由光弹性系数
${p_{\rm{e}}}$ 和中心距${r_x}$ 修正,由于两个参数都可以进行偏置,因此需要确定一个校正参数c以获得正确的曲率,如公式(6)所示:$${k_{{\rm{real}}}} = c \cdot k$$ (6) 必须为每根光纤单独确定该修正参数。另外,光纤会在制作或存储过程中产生扭转,但是这些扭转不包含在
${\varepsilon _{\rm{0}}}$ 中。因此,可以获得一个测量角度为:$$\varphi = {\varphi _{{\rm{real}} + }}{\varphi _{{\rm{twist}}}}$$ (7) 由于存在一个扭转角
${\varphi _{{\rm{twist}}}}$ ,所以它不等于实际角度${\varphi _{{\rm{real}}}}$ 。如果不进行标定测量,则无法确定几何形状下的光纤扭转角${\varphi _{{\rm{twist}}}}$ ,其中$k \ne 0$ (见公式(5))。对于刚性仪器,此误差可以忽略不计,但是对于柔性机构,须确定扭转角的大小。 -
首先将多芯光纤笔直地放置在曲率标定板
$k = $ $ 0$ 的曲率槽内,在无任何应力应变的影响下测量得到此次实验的参考中心波长,参考波长直接影响波长漂移量从而影响后续算法的计算结果,所以必须非常准确才能获得高精度的重构形状。实验中用到的多芯光纤传感器的中心波长如表1所示。表 1 传感器中心波长
Table 1. Central wavelength of sensors
Sensor number Central wavelength/nm 1 1543.30 2 1546.99 3 1551.07 4 1555.18 5 1559.26 使用具有不连续曲率的S形形状对插值进行评估,图5显示了利用三次样条插值方法对应变进行插值最终得到的插值曲率和角度。对应变插值而非曲率和角度可以得到更精确的插值:在不连续点处,曲率更接近于0,角度更精确,而对曲率和角度进行插值得到的结果在每个测点处的偏差都较大。因此,对应变进行插值会得到更接近于实际的曲率和角度,从而重构出更准确的形状。插值对形状精度的影响取决于栅区间距,FBG阵列栅区间距越大,则需要插值的点越多,对重构的精度影响越大。
为了确定扭转角
${\varphi _{{\rm{twist}}}}$ ,将光纤分别放置在不同的曲率槽内,此时可以获得每个光栅测点处的方向角$\varphi $ 。使用确定的角度作为扭转角,使每个光栅位置都具有相同的实际角度${\varphi _{{\rm{real}}}}$ (见公式(7))。当$k = 8.33$ 时,该实验的结果如图6所示,未经校正的曲线重构是带有扭转的(蓝色曲线),而校正后的曲线位于全局坐标系的平面上(黄色曲线),并且精度更高。为了评估重构后的形状,采用如下误差计算定义式:
$$\begin{array}{l} {e_{{\rm{avg}}}} = \dfrac{1}{n}{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {\left\| {{x_i} - {x_i}^g} \right\|} ^2} \\ {e_{\max }} = \max \left( {{{\left\| {{x_0} - {x_0}^g} \right\|}^2}, \ldots ,{{\left\| {{x_n} - {x_n}^g} \right\|}^2}} \right) \\ \end{array} $$ (8) 式中:
${x_0}, \ldots {x_n}$ 是重构的点;${x_0}^g, \ldots ,{x_n}^g$ 是全局坐标系下的实际光栅测点。然后将光纤分别放置在不同曲率下的曲率槽内以确定光纤系统的曲率比例因子,结果如图7所示,显示了使用不同比例因子和重构误差的关系,其中虚线表示最大重构误差,实线表示平均重构误差。
对数据进行处理后发现比例因子约为0.975时可获得更好的效果,将其添加到算法中用于光纤的曲率校正(见公式(6))。图8所示为曲率校正前和校正后的对比,其中虚线表示未校正的重构结果,实线表示校正后的重构结果。且未校正的重构误差会随着曲率的增大而增大。
通过这两种校正后,将光纤分别放置在标定板的不同曲率槽内再次对重构形状进行测量,结果如图9所示。
通过这两种校正方法,形状重构的平均误差降低了0.8%,最大误差降低了3.7%,如表2所示。但是,这些校正可以补偿不会随时间变化的误差。其他误差(例如动态扭曲)不会得到修正。
表 2 不同形状校正后和校正前的重构误差
Table 2. Reconstruction errors of different shapes after and before correction
Error With corrections Without corrections ${e_{avg}}$ ${e_{\max }}$ ${e_{avg}}$ ${e_{\max }}$ k=5.00 0.23 0.38 1.22 3.06 k=5.60 0.20 0.47 1.31 3.24 k=6.25 0.45 1.36 1.98 4.70 k=7.14 0.59 1.52 2.19 5.92 k=8.33 0.81 2.00 2.74 11.69 k=10.00 2.17 3.94 3.48 17.21 在实际应用中,柔性机构位形通常不规律,而能否准确获取柔性机构的复杂形态是关键。针对上述问题,将传感器围绕圆柱(半径:20 mm,螺距:25 mm)成螺旋型,用以验证重构效果,如图10所示。
从图10的重构结果可以看出,利用文中提出的重构方法可准确重构螺旋型形状,重构平均误差为2.82 mm,最大误差为7.45 mm。与校正前的重构误差相比,平均误差降低了2.4%,最大误差降低了10.2%,说明该方法在一定程度上能够提高重构精度。
实验结果表明:(1)提出的基于曲率与角度校正的重构方法能够有效提高系统的重构精度;(2)重构精度取决于形状的复杂度;(3)在复杂位形重构中,还可通过增加FBG数量、减小栅间距、增加插值点等方式减小误差,提高精度。
Three-dimensional shape multi-core fiber reconstruction method of flexible mechanism by introducing curvature and angle correction
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摘要: 为提高柔性机构三维位形参数光纤测量精度,提出了基于曲率与角度校正的多芯光纤三维形状重构方法。通过引入方向角和曲率校正系数,改进了柔性三维形变多芯光纤重构算法;利用准分子激光器和相位掩膜法制备了多芯光纤光栅传感阵列,建立了多芯光纤三维形状重构实验系统;实验测量了不同曲率比例因子下的形状重构误差,分析了曲率与角度校正前后形状重构误差;通过对应变进行了三次样条插值,并对方向角和曲率进行了校正,得到了形状重构误差平均值为0.74 mm、最大值为1.64 mm;利用校正后的多芯光纤传感系统进行三维螺旋形变重构实验,得出重构精度提高了10.2%。研究结果表明,基于曲率与角度校正的多芯光纤三维形状重构方法具有更高精度,在柔性机构三维位形实时监测中具有应用前景。Abstract: In order to improve the measurement accuracy of the three-dimensional shape of the flexible mechanism, a multi-core optical fiber three-dimensional shape reconstruction method based on curvature and angle correction was proposed. By introducing directional angle and curvature correction coefficients, the flexible three-dimensional deformation multi-core fiber reconstruction algorithm was improved; the multi-core fiber grating sensing array was fabricated by using excimer laser and phase mask method, and the multi-core fiber three-dimensional shape reconstruction experiment system was established; the shape reconstruction error under different curvature scale factors was measured in the experiment, and the shape reconstruction error before and after the curvature and angle correction was analyzed; Through the cubic spline interpolation of the strain and the correction of the direction angle and curvature, the average value of shape reconstruction error was 0.74 mm and the maximum value was 1.64 mm; By using the calibrated multi-core optical fiber sensing system to carry out the three-dimensional helix deformation reconstruction experiment, the reconstruction accuracy was improved by 10.2%. The research results show that the multi-core optical fiber 3D shape reconstruction method based on curvature and angle correction has higher accuracy, showing important application prospects and values in real-time monitoring of the 3D shape of flexible mechanisms.
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Key words:
- shape reconstruction /
- flexible mechanism /
- fiber Bragg grating (FBG) /
- multi-core fiber
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表 1 传感器中心波长
Table 1. Central wavelength of sensors
Sensor number Central wavelength/nm 1 1543.30 2 1546.99 3 1551.07 4 1555.18 5 1559.26 表 2 不同形状校正后和校正前的重构误差
Table 2. Reconstruction errors of different shapes after and before correction
Error With corrections Without corrections ${e_{avg}}$ ${e_{\max }}$ ${e_{avg}}$ ${e_{\max }}$ k=5.00 0.23 0.38 1.22 3.06 k=5.60 0.20 0.47 1.31 3.24 k=6.25 0.45 1.36 1.98 4.70 k=7.14 0.59 1.52 2.19 5.92 k=8.33 0.81 2.00 2.74 11.69 k=10.00 2.17 3.94 3.48 17.21 -
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