-
使用波长移相干涉法进行测量时,为了得到被测面的三维形貌信息,必须要求解干涉图里的初始相位信息[4-5]。但是由于采集到的各表面的干涉信息的光强信号是混叠的,因此直接进行解相是不可能的,必须根据各干涉信息之间的不同性质,使用相应的分离算法,从而得到目标信号。在对平行平板的前后表面进行干涉测量时,干涉图中每一个点的干涉光强信息可以由以下公式表示[8-9]:
$$\begin{split} I(x,y,t) =\; &{I_0}(x,y)[1 + \sum {{\gamma _i}(x,y)\rm{cos}(} \theta _i'(x,y,t))]\; \\ &\theta _i'(x,y,t) = {\theta _i}(x,y){\rm{ + }}\Delta {\theta _i}(x,y,t) \end{split} $$ (1) 式中:
${I_0}\left( {x,y} \right)$ 为背景光强;${\gamma _i}(x,y)$ 为调制度;$\theta _i'(x,y,t)$ 与${\theta _i}(x,y)$ 分别为干涉信号的相位与初始相位;$\Delta {\theta _i}(x,y,t)$ 为干涉图在${{t}}$ 时刻引入的附加相位变化,角标i=f、r、f-r,分别对应前表面、后表面与厚度变化信号。干涉光强I(x, y, t)可以利用CCD相机采集得到,移相步长通常作为已知或可测得的主动控制变量。式中
$\Delta {\theta _i}(x,y,t) = 2\pi {v_i}(x,y)t$ ,${v_i}\left( {x,y} \right)$ 为移相频率。为了简化描述,点坐标(x,y)在下文中省略。通过波长移相干涉仪施加电压的变化可以实现波长的调谐,从而改变相位值[11]。在同时存在参考镜与前表面、后表面和被测件前后表面自干涉时,其干涉路径如图1所示。
各表面干涉信号的移相频率可表达为:
$${v_i} = \frac{{\Delta \lambda }}{{\lambda _0^2}}\left[ {ph + q{n_1}T(1 - \frac{{{\lambda _0}}}{{{n_1}}}{n_\lambda }')} \right]$$ (2) 式中:
$p$ 和$q$ 分别表示空气隙和被测件内部中的激光反射后进入观测系统的次数;$h$ 表示腔长值,数值上为被测面到参考面之间的实际距离;${\lambda _0}$ 表示起始波长;$\Delta \lambda $ 表示相位调谐对应的波长改变量;${n_1}$ 和$T$ 分别表示被测件的折射率和厚度;$n_\lambda '$ 为折射率随波长的变化率(因波长变化量相对于波长值极小,此值近似为0)。从公式(2)可知,对于平行平板,前表面、后表面和参考表面彼此之间形成的干涉信号在移相过程中,时域的变化频率是不同的。文中所述加权36步算法本质是通过时域傅里叶离散加权计算对目标信号进行提取,即将叠加的干涉信号进行分离,从而求解其初始相位。基于频域采样窗的设计和计算,目标信号的多步离散加权采样的数学表达可以写为[7,8]:
$${\theta _i} = \arctan \frac{{\sum\limits_{k = 1}^K {{S_i}(k)I(k)} }}{{\sum\limits_{k = 1}^K {{C_i}(k)I(k)} }}\; = \arctan \frac{{\sin {\theta _i}}}{{\cos {\theta _i}}}$$ (3) 式中:
${S_i}(k)$ 、${C_i}(k)$ 分别对应正弦项和余弦项采样权值;$I(k)$ 为第k步该点的干涉光强,其中k=1,2,3……K,对应移相序数,K为移相总步数。测量时采集的混叠干涉图是背景光强、噪声与各表面干涉信息的叠加结果,通过解相算法在干涉图中解调出每一个表面的初始相位,从而以初始相位为基础进行进一步分析:$$\begin{split}& {\theta _f} = \frac{{4\pi {n_0}h}}{{{\lambda _0}}},\;\;{\theta _r} = \frac{{4\pi ({n_0}h + {n_1}T)}}{{{\lambda _0}}},\\ &{\theta _{f -r}} = \frac{{4\pi {n_1}T}}{{{\lambda _0}}} \end{split}$$ (4) 一般空气折射率
${n_0}$ 取1,计算时可以省略。因此通过公式(4)的各干涉信息的初始相位计算得到各表面的形貌分布和厚度变化。 -
考虑加权多步窗采样,对公式(1)使用欧拉公式进行变换,加入采样窗取样后,再对公式进行傅里叶变换。公式(1)频域形式可以改写为[9,12]:
$$\begin{split} & {I_F}(v) = \frac{1}{2}{I_0}(x,y){\gamma _i}\{ W(v) \\ & \sum {[W(v - {v_i}){\rm{exp}}(j{\theta _i})}+W(v + {v_i}){\rm{exp}}(- j{\theta _i})]\} \end{split} $$ (5) 式中:j为虚数单位;
$W\left( v \right)$ 为频域内关于频域变量$v$ 的窗函数。若一倍频与二倍频处窗函数为0,可得:$$ \begin{split} {\theta _i}\; &= {\rm{arctan}}\frac{{{Im} \left[ {{I_F}({v_i})} \right]}}{{{Re} \left[ {{I_F}({v_i})} \right]}} + const \\ & = \frac{{\sum\limits_k^K {{S_i}(k)I(k)} }}{{\sum\limits_k^K {{C_i}(k)I(k)} }} + const \end{split} $$ (6) $$ \begin{split} {S_i}(k) =\;& w(k)\sin ( - {\theta _i}(k))\\ {C_i}(k) =\;& w(k)\cos ( - {\theta _i}(k)) \\ w(k) =\;& [{S_i}(k)\sin( - {\theta _i}(k)) + {C_i}(k)\cos( - {\theta _i}(k)) \\ \;& + i[{S_i}(k)\cos( - {\theta _i}(k)) - {C_i}(k)\sin( - {\theta _i}(k))] \end{split} $$ (7) 式中:const表示频率为0时的传输窗口复相位;
$w(k)$ 为基础分布参数。公式(5)~(7)为加权采样函数的基本设计方法。同时加权采样函数的设计应符合以下条件[7,13]:$$ \left\{ \begin{aligned} &\sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{S_i}(k) = 0} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{C_i}(k) = 0} \\ &\sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{S_i}(k)\sin \left( { - \theta_i \left( k \right)} \right)\; = \sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{C_i}(k)\cos \left( {\theta_i \left( k \right)} \right)} } \\ &\sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{S_i}(k)\cos \left( {\theta_i \left( k \right)} \right)} = - \sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{C_i}(k)\sin \left( {\theta_i \left( k \right)} \right)} \end{aligned} \right. $$ (8) 文中选取5N-4算法进行混叠干涉信号的分离,综合权衡算法适应性与计算量[1,7],取N=8,因此移相步数为36,通过上文所述的基础分布参数和各采样权值的计算,从而进行下一步各信号初始相位的求解。
$2\pi /N = \pi /4$ 为单次移相值。根据上述约束条件,可求得基础分布参数如公式(9)所示:$$ \begin{split} w{\rm{(36)}} = \;&({\rm{1,5,15,35,70,126,210,330,490,}}\\ &{\rm{690,926,1\;190,1\;470,1\;750,2\;010,}}\\ &{\rm{2\;260,2\;380,2\;460,2\;460,2\;380,2\;260,}}\\ &{\rm{2\;010,1\;750,1\;470,1\;190,}}\;2\;226,690,\\ &{\rm{490,330,210,126,70,35,15,5,1}})/2\;460 \end{split} $$ (9) 求取基础分布参数后,利用公式(9)构造采样权重函数
${S_i}(k)$ 和${C_i}(k)$ ,以厚度变化为基频,根据需要提取的干涉条纹组的频率不同,各权值计算结果分别如公式(10)~(12)所示,分别对应前表面、后表面、厚度变化。其中M为腔长系数,后文将会对该系数的取值进行分析。$$\begin{split} & {S_f}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\cos \left[\frac{{(k - 22)M}}{4}\right] \\ & {C_f}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\sin \left[\frac{{(k - 22)M}}{4}\right] \end{split} $$ (10) $$\begin{split} & {S_r}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\cos \left[\frac{{(k - 22)(M + 1)}}{4}\right] \\ & {C_r}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\sin\left[\frac{{(k - 22)(M + 1)}}{4}\right] \end{split} $$ (11) $$\begin{split} & {S_{f -r}}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\cos \left[\frac{{(k - 22)}}{4}\right] \\ & {C_{f -r}}(k) = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{4}}}w(k)\sin \left[\frac{{(k - 22)}}{4}\right] \end{split} $$ (12) 在进行信息提取时,各种算法的信息提取性能是不同的。为综合评价解相算法的性能,即能否有效的提取目标信号以及抑制噪声,定义采样算法的评价函数如公式(13)所示[6]:
$$\begin{split} & {F_1}\left( v \right) = \;\sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{S_i}(k)\exp \left( { - j\delta (k)\frac{{{v_i}}}{{{v_{f - r}}}}} \right)} \\ & {F_2}\left( v \right) = \sum\limits_{k = 1}^{k = K} {{C_i}(k)\exp \left( { - j\delta (k)\frac{{{v_i}}}{{{v_{f - r}}}}} \right)} \end{split}$$ (13) 式中:
$\delta \left( k \right)$ 为狄拉克函数。目前有很多算法可以用于基础分布参数的选取,但是不同算法对信号的提取能力-即解相能力是不同的[1,11]。其中谐波抑制能力则是评价窗函数最重要的性能指标。下面将就常用的汉宁窗的评价函数及其频域谐波抑制能力进行评估,并与加权36步移相算法的采样性能进行比较。汉宁窗是频域提取信号常用的采样窗,尤其用于通信信号传输过程中。其特点是主瓣较宽,旁瓣较小,从而可以有效减小旁瓣泄漏,其基础分布参数的公式可表示为:
$${w_{Hanning}}(k) = \frac{1}{2}\left[1 - \cos \left(\frac{{2\pi k}}{{K + 1}}\right)\right]$$ (14) 通过公式(10)~(12)的各信息的加权函数进行计算,利用公式(13)的评价函数进行计算,取厚度变化为基础频率,因此根据光程不同,通过设置腔长系数的取值,前表面和后表面分别对应二倍频和三倍频。可以得到各表面的汉宁窗评价结果如图2所示。图中横坐标表示各频率与基础频率的比值。
根据汉宁窗的评价函数可知,汉宁窗对旁瓣有较好的抑制效果,各倍频处的旁瓣幅值为2.68%,即大多数旁瓣信息将被有效抑制。但是与此同时仍然会有一部分混频噪声被采集。同样地,根据公式(13)可得出加权36步采样权重函数的各倍频的评价函数如图3所示。
由文中所阐述的加权36步算法的评价函数结果可以得知,各倍频下评价函数的旁瓣幅值均为0.066%,远小于汉宁窗的旁瓣幅值,因此意味着该算法的信号提取效果以及旁瓣抑制效果优于汉宁窗。
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在这一部分将对设计的算法进行数值仿真,并且对腔长、厚度以及波长误差进行分析。文中将通过泽尼克多项式模拟各波面。在数值仿真时所模拟的干涉条件为:考虑被测件为透明平行平板,取单参考面光楔,模拟平行平板前表面和后表面与参考面的干涉以及被测件前后表面自干涉的叠加干涉信号,各模拟波面的数学表达式可以写为:
$$ \begin{split} {H_{si}} =\; & {k_{ia}} \times \left[{\left(\frac{{x - {x_i0}}}{{{R_i}}}\right)^2} - {\left(\frac{{y - {y_i0}}}{{{R_i}}}\right)^2}\right] + \\ &{k_{ib}} \times \left[2 \times \left({\left(\frac{{x - {x_i0}}}{{{R_i}}}\right)^2} - {\left(\frac{{y - {y_i0}}}{{{R_i}}}\right)^2}\right) - 1\right] + \\ &{k_{ic}} \times \frac{{x - {x_i0}}}{{{R_i}}} + {k_{id}} \times \frac{{y - {y_i0}}}{{{R_i}}} + {k_{ie}} \end{split} $$ (15) 式中:
${H_{si}}$ 表示模拟的波面;${k_{ia}}$ 表示相散;${k_{ib}}$ 表示离焦;${k_{ic}}$ 和${k_{id}}$ 分别表示x和y方向的倾斜;${k_{ie}}$ 表示沿Z轴的偏移量;$\left( {{x_{i0}},\;{y_{i0}}} \right)$ 表示有效干涉区域的圆心的坐标;${R_i}$ 表示像差半径。如前所述角标i=f、r分别对应前表面、后表面的波面,厚度变化为后表面减前表面的结果。干涉图大小为像素1 024的矩形。波面仿真参数取值如表1所示。模拟的被测件为表面折射率为1.5,平均厚度为20 mm的平行平板,模拟腔长为300 mm。表 1 仿真参数的取值
Table 1. Value of simulation parameters
Surface Type Value Surface Type Value Front surface ${k_{fa}}$ 0 Rear surface ${k_{ra}}$ 0.5 ${k_{fb}}$ –0.1 ${k_{rb}}$ –0.1 ${k_{fc}}$ 0.0 ${k_{rc}}$ 0.03 ${k_{fd}}$ 0.08 ${k_{rd}}$ 0.05 ${k_{fe}}$ 0.1 ${k_{re}}$ 0.15 ${x_{i0}}$ 300 ${x_{i0}}$ 60 ${y_{i0}}$ 40 ${y_{i0}}$ 450 ${R_i}$ 120 ${R_i}$ 250 通过基于波长调谐移相原理和移相频率的计算方法,设置合适的腔长与待测元件厚度数值关系,可以人为控制各信号移相频率的分布。这里引入腔长系数M,被测件较薄时一般选取厚度变化信号作为基础频率[8]。通过将腔长系数进行精确的选取和控制,可以改变移相频率与对应的不同倍频。腔长系数的公式定义为:
$$M = \frac{h}{{{n_1}T}}$$ (16) 如前文所述的模拟的被测件,其折射率为
${n_1}$ =1.5,待测元件表面反射系数为R,根据被测件的材料特性,文中取0.04。不同的腔长系数的选取应当综合考虑算法适用范围以及目标信号的频率分布,否则无法进行解相。根据表1所选取的仿真参数的适应范围[1,6],考虑计算量和算法适应性,文中选取腔长系数为M=2,因此各信号的倍频分布如表2所示。表 2 M = 2时频率比例
Table 2. Frequency ratio distribution when M = 2
Type Multiple of frequency(${v_i}/{v_{f -r} }$) Type Multiple of frequency(${v_i}/{v_{f -r} }$) ${v_f}$ 2 ${v_r}$ 3 ${v_{f -r} }$ 1 ${v_d}$ 6 如前文所述,因二次反射信号经过多次反射后能量损失较大,因此其强度较小,对结果的影响不大,这里不对该种信号进行提取。通过上述分析可知,当M=2时,则对应的腔长为h=3T。例如当被测元件的平均厚度为10 mm时,腔长需要达到30 mm。但是在实际测量中因为参考镜与被测件均由夹具夹持,本身会占用一定空间,因此如此近距离的调节是难以达到的。针对这种情况,文中通过分析加权36步移相算法的频谱特性-周期性拓展。当基础移相值为
$2\pi /N = \pi /4$ 时,N=8就为加权36步移相算法的周期,采样窗在频域内周期地分布。因此M值只需满足公式(17),其性能与M=2时等价,叠加干涉条纹图中多表面干涉信号可被周期性地提取。$$M = \rho N + 2$$ (17) 式中:
$\rho $ 为任意正整数;N为延拓周期。当N=8时,通过公式(17)可知,M可能取值为2,10,18,26,34,42,50 ···,通过这种特性可以扩展干涉腔长对应被测件的可用腔长分布范围,在干涉测量中具有重要的意义。设置基础移相值$\Delta {\theta _{f - r}}$ 为$\pi /4$ ,${\lambda _0}$ =632.8 nm时,则对应波长单次调谐量为:$$\Delta \lambda = \frac{{\Delta {\theta _{f - r}}\lambda _0^2}}{{4\pi {n_1}T}} \approx 0.000\;834\;8\;{\rm{nm}}$$ (18) 将表1的仿真参数代入泽尼克多项式进行各波面的模拟,为贴近真实测量情形,每一步的取移相误差为
$\Delta \lambda /10$ 。各波面的干涉信号叠加后可以得到混叠光强分布图,在此基础上进行波长改变即可实现移相。将公式(9)求取的结果代入公式(10)~(12)求取各信号的采样函数,由公式(3)的加权计算可以得到各表面的结果,经过反正切变换后可得到各表面的包裹相位如图4所示。通过求解结果可得看出,所述算法可以清晰地分离各信号。为了验证和量化算法的有效性,对各分离信息与所设定的真值的形貌残余误差进行量化,如图5所示。
通过残差分布结果可以看到,36步加权采样算法的计算精度很高,真值与模拟值的最大误差不超过0.06 nm,具有较好的算法性能,能够实现多表面干涉信息的有效分离和各表面相位的解相与恢复。
但是在实际的移相过程中,因为各种不确定因素和扰动的存在,几乎不可能严格地保证测量时的环境参数是理想的[14]。因此为了使计算更具现实意义需要对误差进行准确的评估。
因为不同的腔长位置和样品厚度值会给相对应的干涉信息带来不同的移相频率[13],而在实际的实验过程中由于定位误差和系统误差的存在,因此实际的腔长位置和厚度相对于理想值而言必定存在差值,而此部分差值会对于已经设计好的算法产生影响。此外,由于移相控制器的输出波动,测量时波长误差也应被考虑在内。
${\varepsilon _h}$ 、${\varepsilon _T}$ 、${\varepsilon _C}$ 分别表示腔长、厚度、波长的误差系数。${h'}$ 、${T'}$ 、${\lambda '}$ 分别表示考虑误差的实际腔长、厚度和波长,下角标为0时表示基准参考值,此处分别取750 mm 、4 mm 、632.8 nm。考虑误差时,实际的腔长和厚度表示为:$$\begin{split} & {h'} = \left( {1 + {\varepsilon _h}} \right)h_0'\;\;\;\;{T'} = \left( {1 + {\varepsilon _T}} \right)T_0'\\ & {\lambda '} = \left( {1 + {\varepsilon _C}} \right)\lambda _0' \end{split}$$ (19) 观察在不同误差下的均方根误差-RMS(Root Mean Square)值。真值与求解结果的RMS值可表示为:
$$RMS = \sqrt {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{n = {N_{RMS}}} {{{\left( {{x_{{\rm{ca}}}}{\rm{ - }}{x_{{\rm{tr}}}}} \right)}^2}} }}{{{N_{RMS}}}}} $$ (20) 式中:NRMS为总采样点数,对应干涉图中所有采样点的集合;xca为干涉图上每一个采样点的计算结果;xtr为每一个采样点模拟的真值。通过公式(20),分别计算不同腔长误差
${\varepsilon _h}$ 与厚度误差${\varepsilon _T}$ 下的RMS值,结果如图6所示。可以看出厚度和腔长误差对结果有一定的影响,不超过1.6 nm。如果要精确得到解相结果,应当综合考虑所述误差对结果的影响,并且进行误差的控制。
在波长移相干涉仪的实际工作时,波长的调谐量并不是恒定不变的,当电压有微弱扰动时波长的调谐量也会有波动,因此必须分析和量化在不同波长调谐误差下的算法结果。考虑公式(19)存在误差时的波长计算方法,应用公式(10)~(12)加权采样算法,可以得到图7所示结果。
从图示结果可以看出,36步加权采样算法在波长存在误差的情况下,依然能够得到较好的结果。最大误差不超过0.025 nm,并且在波长误差系数
${\varepsilon _C}$ 为0~0.08时,波长波动对解相结果影响不大,进一步验证了该算法对误差的鲁棒性。通过误差分析可以得出结论:腔长和厚度误差对结果的影响不超过1.6 nm,波长误差对结果的影响不超过0.1 nm,算法对误差的抑制效果良好。上述误差分析可为算法设计提供合理的参考范围,以应对不同的测量要求和实验设备条件,为算法的进一步发展提供理论基础。
Information separation of multi-surface based on wavelength phase-shifting interferometry
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摘要: 利用波长移相干涉技术对平行平板的前后表面同时进行非接触测量在光学检测领域具有重要意义。阐述一种可实现平行平板前后表面干涉混叠信号解相的时域加权算法:加权36步采样算法。首先基于算法原理与约束条件进行了加权多步采样算法的基础分布参数的设计,进而得到前表面、后表面、厚度变化干涉信号的采样权值。利用该权值进行加权操作即可得到各表面初始相位分布。选用泽尼克多项式进行了多表面干涉解相的仿真,模拟的分离结果与真值的最大误差不超过0.06 nm。此外还分析了多种误差对测量结果的影响。论文对这一厚度为20 mm的平行平板开展了测量,验证了该算法在实际测量过程中的有效性。Abstract: The simultaneous non-contact measurement of the front and rear surfaces of parallel plates by using wavelength phase-shifting interference technology was of great significance in the field of optical determination. A time-domain weighting algorithm was proposed to solve the overlapping interference signals of the front and rear surfaces of parallel plates: weighted 36-step sampling algorithm. Firstly, based on the principle and constraints of the algorithm, the basic distribution parameters of the weighted multi-step sampling algorithm were designed, and then the sampling weights of the interference signals of front surface, rear surface and thickness variance were obtained. Through the calculation of the basic distribution parameters, the sampling weight of each surface can be obtained, and the initial phase distribution of each interference information can be obtained by using the weight operation. Based on Zernike polynomials, the simulation of multi-surface interference phase solution was carried out, and the maximum error between the simulation result and the true value was not more than 0.06 nm. In addition, the influence of various errors on the measurement results was analyzed. A parallel plate with a thickness of 20 mm has been measured. The experiment verifies the effectiveness of the algorithm in the actual measurement process.
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表 1 仿真参数的取值
Table 1. Value of simulation parameters
Surface Type Value Surface Type Value Front surface ${k_{fa}}$ 0 Rear surface ${k_{ra}}$ 0.5 ${k_{fb}}$ –0.1 ${k_{rb}}$ –0.1 ${k_{fc}}$ 0.0 ${k_{rc}}$ 0.03 ${k_{fd}}$ 0.08 ${k_{rd}}$ 0.05 ${k_{fe}}$ 0.1 ${k_{re}}$ 0.15 ${x_{i0}}$ 300 ${x_{i0}}$ 60 ${y_{i0}}$ 40 ${y_{i0}}$ 450 ${R_i}$ 120 ${R_i}$ 250 表 2 M = 2时频率比例
Table 2. Frequency ratio distribution when M = 2
Type Multiple of frequency( ${v_i}/{v_{f -r} }$ )Type Multiple of frequency( ${v_i}/{v_{f -r} }$ )${v_f}$ 2 ${v_r}$ 3 ${v_{f -r} }$ 1 ${v_d}$ 6 -
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