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近年来，随着高功率高光束质量光纤激光器的发展，大模场光纤中的模式控制问题引起了广泛的关注[1-3]。事实上，光纤中的模式分析是光纤光学中的基础内容，常常出现在《光纤光学》教材的第一章里[4-8]，其中光纤中的模式简并是指光纤波导中各类模式之间的等价关系。基于经典的光波导理论，《光纤光学》教材分别采用矢量法和标量法分析了阶跃折射率光纤中的模式，得到了各个模式的解析表达式、传播常数的特征方程、传播常数与归一化截止频率的关系。这些结果对于初学者认识光纤中的模式具有较大的帮助[9-10]。然而，一般教材、文献中对于光纤中的模式简并问题讨论的不多，一些模式简并的基本问题并没有给出清晰、完整答案，甚至有些教材还存在些许谬误[11-13]，例如：矢量模与标量模之间存在什么样的简并关系? 为什么存在这样的简并关系? TE0n与TM0n、HEmn与EHmn具有相同的标号，为何不能简并成一个模式?EHmn、HEmn模为何是2度简并的? LPmn（m≠0）模为何是4度简并的? 这些基础问题不讨论清楚，将对研究人员理解光纤中的模式、控制光纤中的模式造成障碍[14-15]。文中无意重复《光纤光学》教材中的内容，而是针对教材、文献中的不足，采用电磁场理论阐述清楚光纤中的模式简并问题，廓清模式认识过程中的迷雾，对于理解光纤中的模式、控制光纤中的模式具有一定帮助[16-20]。
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许多教材和文献都给出了求解光纤中光场模式的思路，如图1所示[21]。描述电磁场时空分布的麦克斯韦方程组可化简为关于电场强度矢量
$\overrightarrow E $ 和磁场强度矢量$\overrightarrow H $ 时空分布的联立方程组；将光纤分为纤芯和包层两个区域，在纤芯和包层内部折射率变化很小，进一步化简得到描述$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 时空分布的独立波动方程；在光强较小不考虑光纤中非线性效应的情况下，电场强度矢量$\overrightarrow E $ 和磁场强度矢量$\overrightarrow H $ 随时间以ejωt的形式变化，ω为光场的圆频率。这样以来，只需求解亥姆霍兹方程，得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 的空间分布，即可获得光纤中光场时空分布的完整信息。光纤中光场的空间分布具有稳定性、有序性、正交性和叠加性的特点，称为模式。分析阶跃折射率光纤中的模式有两种观点（方法）：矢量法和标量法。矢量法将$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 沿着圆柱坐标系的径向、角向和轴向分解，$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 在径向、角向和轴向的分量分别表示为Er, Eφ, Ez和Hr, Hφ, Hz，求得Ez(r, φ, z)和Hz(r, φ, z)后，根据$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 的横向分量和纵向分量之间的关系，即可得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 完整的空间分布，即矢量模。标量法将$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 沿着固定的X方向、Y方向和Z方向分解，由于在弱导光纤中光场的偏振方向可以是一致的，因此可以合理地选取坐标方向使得$\overrightarrow E $ 沿X方向的分量为0，$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 在X方向、Y方向和Z方向的分量可写为0, Ey, Ez和Hx, Hy, Hz，求得Ey(r, φ, z)后，根据$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 的横向分量和纵向分量之间的关系，即可得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 完整的空间分布，即标量模。
图 1 光纤中光场模式的求解过程
Figure 1. Solution procedure of light field mode in fiber
通过上述求解过程得到的
$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 的一系列空间分布解，即光纤波导中可存在的模式，其中某些模式的空间分布相同，传播常数也相同，在描述光纤波导中光场的传播特性时是等价的，因此可以看作同一种模式，即这些模式是简并的。另外，标量法解得的模式可以由一组传播常数十分接近的矢量模简并而成，称为矢量模与标量模的简并关系，文中将对上述两种模式简并情况做详细分析。 -
文中将光纤视为无自由电荷、无传导电流、无损耗、各向同性的理想波导，在矢量法求解矢量模的过程中需将Ez(r, φ, z)和Hz(r, φ, z)的坐标变量分离，考虑到光纤中光场沿z向仅有相位的变化，可将Ez(r, φ, z)写为[11-12]：
$${E_{{z}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) = A \cdot R\left( r \right) \cdot \varPhi \left( \varphi \right) \cdot {{\rm{e}}^{ - \beta z}}$$ (1) 式中：A为常数；R(r)、Φ(φ)分别表示关于半径r和辐角φ的函数；β为纵向传播常数。描述Ez(r, φ, z)和Hz(r, φ, z)的齐次波动方程转化为关于Φ(φ)的二阶线性微分方程和关于R(r)的贝塞尔方程[11-12]：
$$\frac{1}{{\varPhi \left( \varphi \right)}} \cdot \frac{{{\partial ^{\rm{2}}}\varPhi \left( \varphi \right)}}{{\partial {\varphi ^{\rm{2}}}}} = - {m^2}\tag{2a}$$ $$\left[ {\frac{{{r^{\rm{2}}}}}{{R\left( r \right)}} \cdot \frac{{{\partial ^{\rm{2}}}R\left( r \right)}}{{\partial {r^{\rm{2}}}}} + \frac{r}{{R\left( r \right)}} \cdot \frac{{\partial R\left( r \right)}}{{\partial r}} + \left( {{n^2}{k_0}^2 - {\beta ^2}} \right){r^{\rm{2}}}} \right] = {m^2}\tag{2b}$$ 式中：n为光纤中的折射率，纤芯的折射率表示为n1，包层的折射率表示为n2；k0=2π/λ为真空中的圆波数，λ为真空中的波长。值得注意的是，公式（2a）的解空间由两个基函数组成，分别是sin(mφ)与cos(mφ)，（m=0, 1, 2, 3···）。一些文献中[18-20]常常使用函数ejmφ，（m=0, ±1, ±2, ±3···）作为公式（2a）的解，但是这是错误的。尽管ejmφ，（m=0, ±1, ±2, ±3···）满足公式（2a），但是ejmφ，（m=0, ±1, ±2, ±3···）并不是二阶线性微分方程的完备正交基，仅仅是sin(mφ)与cos(mφ)，（m=0, 1, 2, 3···）的线性组合而已。错误的使用函数ejmφ，（m=0, ±1, ±2, ±3···）描述Ez(r, φ, z)和Hz(r, φ, z)沿辐角方向的变化规律会对模式简并问题的认识造成障碍。
贝塞尔方程（2b）的解是贝塞尔函数的线性组合，根据物理图像确定公式（2b）的试探解为[21-22]：
$$ R\left( r \right) = \left\{ {\begin{aligned} &{\frac{{{J_m}\left( {\frac{U}{a}r} \right)}}{{{J_m}\left( U \right)}}\;\;\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}\left( {\frac{W}{a}r} \right)}}{{{K_m}\left( W \right)}}\;\;\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right.$$ (3) 式中：a为纤芯的半径；Jm与Km分别为第一类贝塞尔函数和第二类修正贝塞尔函数；U为导模的横向归一化传播常数
$U = a\sqrt {k_0^2{n_1}^2 - {\beta ^2}} $ ；W为导模在包层中的归一化衰减系数$W = a\sqrt {{\beta ^2} - k_0^2{n_2}^2} $ 。利用光场在纤芯与包层边界上的连续条件，得到特征方程：$$\begin{split} & \left[ {\frac{{k_0^2n_{{1}}^2}}{U}\frac{{{{J'}_m}(U)}}{{{J_m}(U)}} + \frac{{k_0^2n_2^2}}{W}\frac{{{{K'}_m}(W)}}{{{K_m}(W)}}} \right]\cdot \\ & \left[ {\frac{{{1}}}{U}\frac{{{{J'}_m}(U)}}{{{J_m}(U)}} + \frac{{{1}}}{W}\frac{{{{K'}_m}(W)}}{{{K_m}(W)}}} \right] = {{{\beta}} ^2}{m^2}{\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right)^2} \end{split} $$ (4) 特征方程（4）是一个四次超越方程，可进一步将其化简为两个二次超越方程：
$$\begin{split} & \frac{{{{2}}{{J'}_m}(U)}}{{U \cdot {J_m}\left( U \right)}} + \left( {{{1}} + \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}} \right) \cdot \frac{{{{K'}_m}(W)}}{{W \cdot {K_m}\left( W \right)}} = \\ & \left\{ {{{\left( {{{1}} - \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}} \right)}^2} \cdot {{\left[ {\frac{{{{K'}_m}(W)}}{{W \cdot {K_m}\left( W \right)}}} \right]}^2}} \right. + \\ & {\left. {{{4}}{m^2}\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}\frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right)} \right\}^{1/2}} \end{split} \tag{5a}$$ $$\begin{split} & \frac{{{{2}}{{J'}_m}(U)}}{{U \cdot {J_m}\left( U \right)}} + \left( {{{1}} + \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}} \right) \cdot \frac{{{{K'}_m}(W)}}{{W \cdot {K_m}\left( W \right)}} = \\ & - \left\{ {{{\left( {{{1}} -\frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}} \right)}^2} \cdot {{\left[ {\frac{{{{K'}_m}(W)}}{{W \cdot {K_m}\left( W \right)}}} \right]}^2} + } \right. \\ & {\left. {{{4}}{m^2}\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{n_2^2}}{{n_1^2}}\frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right) \cdot \left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right)} \right\}^{1/2}} \end{split}\tag{5b} $$ 在特定的m值下，根据特征方程（4）或（5）以及U、W、β三者之间的关系可求得两个系列的U、W、β特征值。将特征值U、W、β带入公式（3），即可得到Ez沿径向的变化规律，结合Ez沿辐角的变化规律及沿轴向的变化规律即可得到Ez的空间分布。同样的方法可得到Hz的空间分布，进一步的结合
$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 的横向分量与纵向分量之间的关系，可得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 完整的空间分布，即矢量模。有些文献给出的二次超越特征方程（5）是错误的，这会对矢量模简并问题的理解造成障碍[10]。需要说明的是，当m=0时，由特征方程（5a）求出的系列特征值对应TE模，第n（n=1, 2, 3, 4···）个特征值对应的模式为TE0n模；由特征方程（5b）求出的系列特征值对应于TM模，第n（n=1, 2, 3, 4···）个特征值对应的模式为TM0n模。但是由特征方程（5a）解出的第n个特征值与特征方程（5b）解出的第n个特征值并不相等，与之相应的TE0n模的空间分布与TM0n模的空间分布也不相同，因此，尽管TE0n模与TM0n模下标相同却不能简并为一个模式。当m>0时，由特征方程（5a）求出的特征值对应EH模，第n个特征值对应的模式为EHmn模；由特征方程（5b）求出的特征值对应于HE模，第n个特征值对应的模式为HEmn模。
值得注意的是，根据前文的叙述Ez和Hz沿辐角的变化规律有两种情况：sin(mφ)与cos(mφ)，（m=0, 1, 2, 3···）。相应的Ez和Hz有两种可能的空间分布，分别称为o态与e态：
o态
$$\begin{split} {E_z} = \;&A\exp ( - j\beta z)\sin \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ &\left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}\tag{6a}$$ $$\begin{split} {H_z} =\;& B\exp ( - j\beta z)\cos \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ & \left\{ {\begin{aligned} &{\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}\tag{6b}$$ e态
$$\begin{split} {E_z} =\;& A\exp ( - j\beta z)\cos \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ &\left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}\tag{7a}$$ $$\begin{split} {H_z} =\; & B\exp ( - j\beta z)\sin \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ &\left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ &{\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}\tag{7b}$$ 当m>0时，特征方程（5a）解出的第n个特征值对应于EHmn模，对比公式（6）和（7）给出的o态和e态这两种情况，Ez和Hz的两种空间分布沿径向的变化规律完全相同、纵向传播常数完全相同，沿辐角的变化相似，仅相差一个角度π/2m，因此，可以认为这两种空间分布是同一种模式，即EHmn模都是2度简并的。同理，由特征方程（5b）确定的HEmn模也是2度简并的。当m=0时，特征方程（5a）解出的第n个特征值对应于TE0n模，而TE0n模的Ez=0，只存在公式（6）描述的o态这一种情况，因此TE0n模的简并度为1；特征方程（5b）解出的第n个特征值对应于TM0n模，TM0n模的Hz=0，只存在公式（7）描述的e态这一种情况，故TM0n模的简并度为1。此外，对比公式（6）和（7）不难发现，TE0n模与TM0n模的空间分布完全不同，这从另一个角度说明了TE0n模与TM0n模不能简并为一个模式。
矢量模的电场强度矢量
$\overrightarrow E $ 和磁场强度矢量$\overrightarrow H $ 的横向分量和纵向分量之间的关系如公式（8）所示：$${{{\chi}} ^2}{E_r} = - {{j}}\left( {{{\omega}} {{{\mu}} _0}\frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial {{\varphi}} }} + {{\beta}} \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial r}}} \right)\tag{8a}$$ $${{{\chi}} ^2}{E_{{\varphi}} } = - {{j}}\left( { - {{\omega}} {{{\mu}} _0}\frac{{\partial {H_z}}}{{\partial r}} + {{\beta}} \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial {{\varphi}} }}} \right)\tag{8b}$$ $${{{\chi}} ^2}{H_{{r}}} = - {{j}}\left( { - {{\omega \varepsilon}} \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial {{\varphi}} }} + {{\beta}} \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial r}}} \right)\tag{8c}$$ $${{{\chi}} ^2}{H_{{\varphi}} } = - {{j}}\left( {{{\omega \varepsilon}} \frac{{\partial {E_z}}}{{\partial r}} + {{\beta}} \frac{1}{r} \cdot \frac{{\partial {H_z}}}{{\partial {{\varphi}} }}} \right)\tag{8d}$$ 式中：χ为横向传播常数，在纤芯中χ为U/a，在包层中χ为j·W/a；μ0为真空中的磁导率。根据公式（5）~（8）求得典型阶跃折射率光纤中的模场强度如图2所示，图中白色箭头表示电场矢量。图2中展示的光纤的纤芯半径为20 μm，激光波长λ为1 064.2 nm，纤芯折射率n1为1.451 5，包层的折射率n2为1.450 3，满足弱导条件，数值孔径NA为0.059 01，归一化截止频率V为6.9681，能够支持14个模式。
图 2 典型阶跃折射率光纤中的矢量模强度分布
Figure 2. Vector mode intensity distribution in the classic step index fiber
结合图2，可以直观的看出，TE0n与TM0n模、HEmn与EHmn模虽然具有相同的标号，但是它们的模场分布是完全不同的，因此不能简并为一个模式。EHmn模、HEmn模均存在o态和e态这两种情况，而且这两种情况的模场分布基本相同，仅仅相差辐角π/2m，因此EHmn模、HEmn模均为二度简并的。TE0n模仅有o态这一种情况，TM0n模仅有e态这一种情况，因此TE0n模、TM0n模是一度简并的。
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标量法是建立在弱导光纤基础上的，即n1~n2，认为光纤截面上光场的偏振方向都是一致的。当光场的偏振方向沿y方向时，Ex=0，将Ey(r, φ, z)分离坐标变量后写为：
$${E_{\rm{y}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) = A \cdot R\left( r \right) \cdot \varPhi \left( \varphi \right) \cdot {{\rm{e}}^{ - \beta z}}$$ (9) 与矢量法的求解过程相似，求得Ey(r, φ, z)两种可能的空间分布，分别称为yo态和ye态。
yo态
$$\begin{split} {E_{\rm{y}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) =\;& A\exp ( - j\beta z)\sin \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}$$ (10) ye态
$$\begin{split} {E_{\rm{y}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) =\;& A\exp ( - j\beta z)\cos \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}$$ (11) 进一步利用光场在纤芯与包层的边界上的连续条件，得到特征方程为：
$$\frac{{U \cdot {{J'}_m}(U)}}{{{J_m}\left( U \right)}} = \frac{{W \cdot {{K'}_m}(W)}}{{{K_m}\left( W \right)}}$$ (12) 标量模的特征方程（12）是一个一次超越方程，比矢量模的特征方程（4）简洁得多。在特定的m值下，根据特征方程（12）以及U、W、β三者之间的关系可求得若干U、W、β的特征值。将特征值U、W、β带入公式（10）或（11），即可得到Ey的空间分布，进一步的结合 $\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 各方向分量之间的公式（13），可得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 完整的空间分布，即标量模。其中第n（n=1, 2, 3, 4…）个特征值对应的标量模为LPmn模。$${E_z} = - \frac{j}{{{\beta}} } \cdot \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial y}}\tag{13a}$$ $${H_x} = - \frac{{{{\omega \varepsilon}} }}{{{\beta}} } \cdot {E_y}\tag{13b}$$ $${H_y} = {{0}}\tag{13c}$$ $${H_z} = j\frac{{{{\omega \varepsilon}} }}{{{{{\beta}} ^2}}} \cdot \frac{{\partial {E_y}}}{{\partial x}}\tag{13d}$$ 在光场偏振方向沿y方向的情况下，当m≠0时，LPmn模均存在yo态和ye态这两种情形，对比公式（10）和（11），在这两种情形下，Ey沿径向的变化规律完全相同、纵向传播常数完全相同，沿辐角的变化相似，仅相差一个角度π/2m，因此，可以认为yo态和ye态是同一种模式；当m=0时，LPmn模只存在ye态这一种情形。
当光纤中的光场偏振方向沿x方向时，Ey=0，Ex(r, φ, z)同样存在两种可能的空间分布，分别称为xo态和xe态。
xo态
$$\begin{split} {E_{\rm{x}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) =\; & A\exp ( - j\beta z)\sin \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}$$ (14) xe态
$$\begin{split} {E_{\rm{x}}}\left( {r,\varphi ,z} \right) =\;& A\exp ( - j\beta z)\cos \left( {m\varphi } \right) \cdot \\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\frac{{{J_m}(\frac{U}{a}r)}}{{{J_m}(U)}}\;\;\;\;0 \le r \le a}\\ & {\frac{{{K_m}(\frac{W}{a}r)}}{{{K_m}(W)}}\;\;\;\;r \ge a} \end{aligned}} \right. \end{split}$$ (15) 利用光场在纤芯与包层边界上的连续条件得到的特征方程亦为公式（12），根据特征方程（12）以及U、W、β三者之间的关系可求得若干U、W、β的特征值，根据公式（14）或（15），即可得到Ex的空间分布，进一步的结合
$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 各方向分量之间的公式（16），可得到$\overrightarrow E $ 和$\overrightarrow H $ 完整的空间分布：$${E_z} = - \frac{j}{{{\beta}} } \cdot \frac{{\partial {E_x}}}{{\partial x}}\tag{16a}$$ $${H_x} = {{0}}\tag{16b}$$ $${H_y} = \frac{{{{\omega \varepsilon}} }}{{{\beta}} } \cdot {E_x}\tag{16c}$$ $$ {H_z} = - j\frac{{{{\omega \varepsilon}} }}{{{{{\beta}} ^2}}} \cdot \frac{{\partial {E_x}}}{{\partial y}}^{[22-23]} \tag{16d}$$ 同样，在光场偏振方向沿x方向的情况下，当m≠0时，LPmn模均存在xo态和xe态这两种情形；当m=0时，LPmn模只存在xe态这一种情形。
作为示例，图3展示了光纤中的线偏振模，图中白色箭头表示电场矢量。光纤纤芯半径为20 μm，激光波长λ为1 064.2 nm，纤芯折射率n1为1.451 5，包层的折射率n2为1.450 3，满足弱导条件，数值孔径NA为0.059 01，归一化截止频率V为6.968 1，能够支持14个模式。
图 3 典型阶跃折射率光纤中的标量模强度分布
Figure 3. Lingearly polarized mode intensity distribution in the classic step index fiber
结合图3可以直观的看出，当m≠0时，LPmn模存在yo态、ye态、xo态、xe态这四种情况，它们的模场分布基本相同，此时LPmn模是四度简并的，当m=0时，LPmn模只存在ye态、xe态这两种情况，此时LPmn模是二度简并的。
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在弱导阶跃折射率光纤中，光场既可以用矢量模描述也可以用标量模描述。要理清这两种描述方法的内在联系就需要先阐明矢量模和标量模之间的简并关系[29]。
事实上，TE0n模、TM0n模与LP1n模的纵向传播常数β是相同的。当m=0时，由矢量模的特征方程（4）得到描述TE0n模、TM0n模纵向传播常数的特征方程，如公式（17a）所示：
$$\left[ {\frac{{{1}}}{U}\frac{{{{J'}_0}(U)}}{{{J_0}(U)}} + \frac{{{1}}}{W}\frac{{{{K'}_0}(W)}}{{{K_0}(W)}}} \right]\left[ {\frac{{n_1^2}}{U}\frac{{{{J'}_0}(U)}}{{{J_0}(U)}} + \frac{{n_2^2}}{W}\frac{{{{K'}_0}(W)}}{{{K_0}(W)}}} \right] = {{0}}\tag{17a}$$ 考虑到弱导近似，即n1~n2，上式化简为：
$$\frac{{{1}}}{U}\frac{{{{J'}_0}(U)}}{{{J_0}(U)}} + \frac{{{1}}}{W}\frac{{{{K'}_0}(W)}}{{{K_0}(W)}} = {{0}}\tag{17b}$$ 根据贝塞尔函数的性质：
$$v{J_v} + xJ{'_v} = x{J_{v - 1}}\tag{18a}$$ $$ - v{J_v} + xJ{'_v} = - x{J_{v + 1}}\tag{18b}$$ $$v{K_v} + xK{'_v} = - x{K_{v - 1}}\tag{18c}$$ $$ - v{K_v} + xK{'_v} = - x{K_{v + 1}}\tag{18d}$$ 公式（17b）可进一步化简为：
$$\frac{{ - {J_1}\left( U \right)}}{{{J_1}\left( U \right) + U \cdot J{'_1}\left( U \right)}} + \frac{{{K_1}\left( W \right)}}{{{K_1}(W) + W \cdot K{'_1}(W)}} = 0\tag{17c}$$ $$\frac{{{J_1}\left( U \right) + U \cdot J{'_1}\left( U \right)}}{{{J_1}\left( U \right)}} = \frac{{{K_1}(W) + W \cdot K{'_1}(W)}}{{{K_1}\left( W \right)}}\tag{17d}$$ $$\frac{{U \cdot J{'_{\bf{1}}}\left( U \right)}}{{{J_{\bf{1}}}\left( U \right)}} = \frac{{W \cdot K{'_{\bf{1}}}(W)}}{{{K_{\bf{1}}}\left( W \right)}}\tag{17e}$$ 对比发现，公式（17e）与当m=1的标量模特征方程（12）是完全相同，也就是说，在弱导近似下，TE0n模、TM0n模的纵向传播常数与LP1n模的纵向传播常数是完全相同的。
事实上，当m>1时，EHm−1,n模与LPmn模的纵向传播常数β是相同的。EHm−1, n模的特征方程（5a）式在弱导近似下可化为：
$$\frac{{{{J'}_{m - {{1}}}}(U)}}{{U \cdot {J_{m - {{1}}}}(U)}} + \frac{{{{K'}_{m - {{1}}}}(W)}}{{W \cdot {K_{m - {{1}}}}(W)}} = \left( {m - {{1}}} \right)\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right)\tag{19a}$$ 根据贝塞尔函数的性质公式（18），上式可化为：
$$\begin{split} & \frac{{\left[ {\dfrac{{\left( {m - {{1}}} \right) \cdot m}}{{{U^2}}} - {{1}}} \right] \cdot {J_m}(U) + \dfrac{{m - {{1}}}}{U} \cdot {{J'}_m}(U)}}{{m \cdot {J_m}(U) + U \cdot {{J'}_m}(U)}} + \\ & \frac{{\left[ {\dfrac{{\left( {m - {{1}}} \right) \cdot m}}{{{W^2}}} + {{1}}} \right] \cdot {K_m}(W) + \dfrac{{m - {{1}}}}{W} \cdot {{K'}_m}(W)}}{{m \cdot {K_m}(W) + W \cdot {{K'}_m}(W)}}= \\ & \left( {m - {{1}}} \right)\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right) \end{split}\tag{19b} $$ $$\begin{split} & \frac{{m - {{1}}}}{{{U^2}}} - \frac{{{J_m}(U)}}{{m \cdot {J_m}(U) + U \cdot {{J'}_m}(U)}} + \\ & \frac{{m - {{1}}}}{{{W^2}}} + \frac{{{K_m}(W)}}{{m \cdot {K_m}(W) + W \cdot {{K'}_m}(W)}} = \\ & \left( {m - {{1}}} \right)\left( {\frac{{{1}}}{{{U^2}}} + \frac{{{1}}}{{{W^2}}}} \right) \end{split}\tag{19c} $$ $$\frac{{{J_m}(U)}}{{m \cdot {J_m}(U) + U \cdot {{J'}_m}(U)}} = \frac{{{K_m}(W)}}{{m \cdot {K_m}(W) + W \cdot {{K'}_m}(W)}}\tag{19d}$$ $$\frac{{U \cdot {{J'}_m}(U)}}{{{J_m}(U)}} = \frac{{W \cdot {{K'}_m}(W)}}{{{K_m}(W)}}\tag{19e}$$ 得到了LPmn模的特征方程。完全类似的方法可以证明，当m≥0时，HEm+1, n模与LPmn模的纵向传播常数β是相同的。图2描述的矢量模与图3描述的标量模的纵向传播常数的对比如表1所示。
表 1 矢量模纵向传播常数与标量模纵向传播常数的对比
Table 1. Propagation constants of vector modes and linearly polarized modes
Vevctor modes β/m−1 Linearly polarized modes β/m−1 HE11 8 569 293 LP01 8 569 293 TE01 8 568 310 LP11 8568310 HE21 8 568 310 TM01 8 568 310 EH11 8 567 033 LP21 8 567 039 HE31 8 567 033 HE12 8 566 606 LP02 8 566 608 EH21 8 565 493 LP31 8 565 502 HE41 8 565 493 TE02 8 564 673 LP12 8 564 687 HE22 8 564 672 TM02 8 564 672 EH31 856 3724 LP41 8 563 745 HE51 8 563 723 从表1中也可以看出，在弱导近似下，TE0n模、TM0n模与LP1n模的纵向传播常数近似相等，EHm−1, n模与LPmn模的纵向传播常数近似相等，HEm+1, n模与LPmn模的纵向传播常数近似相等。矢量模与标量模的纵向传播常数相同，意味着矢量模与标量模沿着光纤轴向的传输行为相同，在纤芯中横向的振荡形式相同，在包层中横向衰减的趋势相同。或者说，在弱导阶跃折射率光纤中，矢量模和标量模存在着深层次的内在联系。根据公式（1）~（8）可以求得矢量模o态和e态完整的电磁场分布，根据公式（9）~（16）可以求得标量模yo态、ye态、xo态和xe态完整的场分布，对比二者的场分布表达式，在能量归一条件下，可以推导得不同m值下标量模和矢量模之间的组合关系，如公式（20）所示：
$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{1n}}^{\left( o \right)}} \\ {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{1n}}^{\left( e \right)}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{0n}}^{\left( {ye} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{0n}}^{\left( {xe} \right)}} \end{array}} \right]\tag{20a}$$ $$\frac{1}{2} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}&1 \\ { - 1}&1&0&0 \\ 1&1&0&0 \\ 0&0&1&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{T}}{{\rm{E}}_{0n}}} \\ {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{2n}}^{\left( o \right)}} \\ {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{2n}}^{\left( e \right)}} \\ {{\rm{T}}{{\rm{M}}_{0n}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{1n}}^{\left( {yo} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{1n}}^{\left( {ye} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{1n}}^{\left( {xo} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{1n}}^{\left( {xe} \right)}} \end{array}} \right]\tag{20b}$$ $$\frac{1}{2} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&{ - 1} \\ { - 1}&0&1&0 \\ 1&0&1&0 \\ 0&1&0&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{E}}{{\rm{H}}_{m - 1, n}}^{\left( o \right)}} \\ {{\rm{E}}{{\rm{H}}_{m - 1, n}}^{\left( e \right)}} \\ {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{m + 1, n}}^{\left( o \right)}} \\ {{\rm{H}}{{\rm{E}}_{m + 1, n}}^{\left( e \right)}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{mn}}^{\left( {yo} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{mn}}^{\left( {ye} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{mn}}^{\left( {xo} \right)}} \\ {{\rm{L}}{{\rm{P}}_{mn}}^{\left( {xe} \right)}} \end{array}} \right]\tag{20c}$$ 公式（20）揭示了弱导光纤中矢量模与标量模之间的简并关系，即：HE1n(o)的场分布与LP0n(ye)相同，HE1n(e)的场分布与LP0n(xe)相同，如公式（20a）所示；LP1n(yo)模、LP1n(xe)模是HE2n(e)模和TM0n模的线性叠加，LP1n(ye)模、LP1n(xo)模是TE0n模和HE2n(o)模的线性叠加，如公式（20b）所示；当m>1时，LPmn(yo)模、LPmn(xe)模是EHm−1, n(e)模和HEm+1, n(e)的线性叠加，LPmn(ye)模、LPmn(xo)模是EHm−1, n(o)模和HEm+1, n(o)模的线性叠加，如公式（20c）所示。或者说，矢量模可以表示成为标量模的线性组合，标量模也可以表示成为矢量模的线性组合。图2描述的矢量模场分布和图3描述的标量模场分布也印证了公式（20）描述的简并关系。限于篇幅，在此不对公式（20）作详细的证明。
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在阶跃折射率光纤中，光场可以采用矢量模描述，TE0n与TM0n模、EHmn与HEmn模的纵向传播常数β不同，模场分布相差很大，因而TE0n与TM0n模、HEmn与EHmn模不能简并为一个模式；EHmn模、HEmn模均存在o态和e态这两种情况，而且这两种情况的模场分布角向旋转相同，旋转角度为π/2m，因而EHmn模、HEmn模均为二度简并的；TE0n模仅有o态这一种情况，TM0n模仅有e态这一种情况，因而TE0n模、TM0n模是一度简并的。
当阶跃折射率光纤纤芯折射率与包层折射率相近、满足弱导条件时，在光纤截面上光场的偏振方向可以是一致的，可以用标量模描述；当m>0时，LPmn模存在yo态、ye态、xo态、xe态这四种情况，而且这四种情况的模场强度分布旋转相同、偏振方向相同或正交，因而，当m>0时，LPmn模是四度简并的；LP0n模只存在ye态、xe态这两种情况，而且这两种情况的模场强度分布相同，偏振方向正交，因而LP0n模是二度简并的。
在弱导阶跃折射率光纤中，光场既可以用矢量模描述也可以用标量模描述，矢量模和标量模都是描述光场的正交完备基；弱导阶跃折射率光纤中的光场既可以表示为矢量模的线性组合，也可以表示为标量模的线性组合；矢量模[HE1n(o)、HE1n(e)]与标量模[LP0n(ye)、LP0n(xe)]的纵向传播常数β是近似相同的，这两组正交完备基可以互相表示为对方的线性组合，即光场模式可以由两个独立变量表示，因此可以看作2维光场空间；同理，矢量模[TE0n、HE2n(o)、HE2n(e)、TM0n]与标量模[LP1n(yo)、LP1n(ye)、LP1n(xo)、LP1n(xe)]的纵向传播常数β是近似相同的，这两组正交完备基描述的光场空间是4维的；当m≥2时，矢量模[EHm−1, n(o)、EHm−1, n(e)、HEm+1, n(o)、HEm+1, n(e)]与标量模[LPmn(yo)、LPmn(ye)、LPmn(xo)、LPmn(xe)]的纵向传播常数β是近似相同的，这两组正交完备基描述的光场空间是4维的。
Study on mode degeneracy in weakly guiding step index fiber
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摘要: 模式是光纤光学中的基本概念，也是光纤激光器研究中最关注的问题之一。在一般的教材、文献中对模式的简并问题涉及较少，没有给出清晰、直观的物理图像。文中采用经典的电磁场理论，阐明了矢量模的简并度、标量模的简并度以及矢量模和标量模之间的简并关系。在弱导阶跃折射率光纤中，矢量模和标量模都是描述光场的正交完备基，矢量模[HE1n(o)、HE1n(e)]与标量模[LP0n(ye)、LP0n(xe)]描述的光场空间是2维的，矢量模[TE0n、HE2n(o)、HE2n(e)、TM0n]与标量模[LP1n(yo)、LP1n(ye)、LP1n(xo)、LP1n(xe)]描述的光场空间是4维的，矢量模[EHm-1, n(o)、EHm-1, n(e)、HEm+1, n(o)、HEm+1, n(e)]与标量模[LPmn(yo)、LPmn(ye)、LPmn(xo)、LPmn(xe)]描述的光场空间也是4维的。Abstract: Mode is the fundamental concept in fiber optics, which is one of the most concerned issues in the fiber laser research. However, the mode degeneracy issue has not been clarified in common literature. By the classical electromagnetic theory, the degeneracy of vector mode and linearly polarized modes was analyzed and the relation between vector mode and linearly polarized mode were discussed in this paper. In the weakly guiding step index fiber, the vector mode and the linearly polarized mode were both the orthogonal complete basis for describing the optical field. The optical field described by vector mode [HE1n(o)、HE1n(e)] and linearly polarized mode [LP0n(ye)、LP0n(xe)] were 2 dimensional; the optical field described by vector mode [TE0n、HE2n(o)、HE2n(e)、TM0n]] and linearly polarized mode [LP1n(yo)、LP1n(ye)、LP1n(xo)、LP1n(xe)] were 4 dimensional; the optical field described by vector mode [EHm-1n(o), EHm-1n(e), HEm+1n(o), HEm+1n(e)] and linearly polarized mode [LPmn(yo), LPmn(ye), LPmn(xo), LPmn(xe)] were 4 dimensional.
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Key words:
- vector mode /
- linearly polarized mode /
- mode degeneracy /
- weakly guiding step index fiber
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2 典型阶跃折射率光纤中的矢量模强度分布
2. Vector mode intensity distribution in the classic step index fiber
3 典型阶跃折射率光纤中的标量模强度分布
3. Lingearly polarized mode intensity distribution in the classic step index fiber
表 1 矢量模纵向传播常数与标量模纵向传播常数的对比
Table 1. Propagation constants of vector modes and linearly polarized modes
Vevctor modes β/m−1 Linearly polarized modes β/m−1 HE11 8 569 293 LP01 8 569 293 TE01 8 568 310 LP11 8568310 HE21 8 568 310 TM01 8 568 310 EH11 8 567 033 LP21 8 567 039 HE31 8 567 033 HE12 8 566 606 LP02 8 566 608 EH21 8 565 493 LP31 8 565 502 HE41 8 565 493 TE02 8 564 673 LP12 8 564 687 HE22 8 564 672 TM02 8 564 672 EH31 856 3724 LP41 8 563 745 HE51 8 563 723 
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图(5) / 表(1)
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