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两轴FSM是一个两输入两输出的系统(MIMO),X轴和Y轴之间存在互相耦合[5],不仅降低了系统的定位精度,而且降低了系统抗干扰能力,甚至引起系统振荡,因此降低X轴和Y轴之间的耦合是研制两轴FSM系统的难点之一。
两轴FSM的耦合来源如下。(1)非直流耦合分量:柔性支撑结构自身的变形耦合,如图1所示,在工作轴方向上的一阶谐振频率为
${f_1}$ ,非工作轴方向上的谐振频率为${f_2}$ 和${f_3}$ [6];(2)直流耦合分量:1)加工制造引起的两个旋转轴线的不垂直;2)制动器安装位置与旋转轴线不共线引起的偏差;3)传感器安装位置与旋转轴不共线引起的偏差[5]。如图2所示。图 2 FSM装配轴线与工作轴不重合示意图
Figure 2. Schematic diagram of FSM assembly axis not coinciding with working axis
FSM的谐振频率
${f_i}$ [6]可以近似表示为:$${f_i} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{{K_{\theta i}}}}{{{J_i}}}} $$ (1) 式中:
${J_i}$ 为某个方向上的负载转动惯量;$ {K_{\theta i}} $ 为对应的转动刚度。图1中
${f_1}$ 为FSM的X(Y)工作轴上一阶谐振频率,${f_2}$ 和${f_3}$ 为X(Y)工作轴其他方向上耦合引起的谐振频率。其中,FSM满足[7]:$$\left\{\begin{matrix} {{f}_{1}}\leqslant {{f}_{c}}/{(2\sim 4)}\; \\ {{f}_{2}}\geqslant (2\sim 4){{f}_{c}} \\ {{f}_{3}}\geqslant (5\sim 6){{f}_{c}} \end{matrix} \right.$$ (2) 式中:
${f_c}$ 为FSM带宽。二阶谐振频率
${f_2}$ 为FSM系统非工作方向上的最低谐振频率,且与系统的闭环带宽${f_c}$ 最近,三阶谐振频率${f_3}$ 离${f_c}$ 比较远,因此二阶谐振频率${f_2}$ 是影响系统在工作轴上非直流耦合分量的主要来源。图2(a)中轴心重合,但是轴线之间偏离一定的角度
$\Delta \varphi $ ,则X轴耦合到Y轴的直流耦合量分量为$\Delta {\theta _{xy}}$ :$$\Delta {\theta _{xy}} = {\theta _x}\sin (\Delta \varphi )$$ (3) 式中:
${\theta _x}$ 为X轴方向输出转角。图2(b)中虽然轴线之间视相平行,但是轴线本身发生了偏移
$\Delta l$ ,工作轴上的两个音圈电机产生的力矩不相等,产生一定的直流耦合分量,相对于图2(a)产生直流耦合分量,图2(b)的情况可以忽略不计。 -
两轴FSM是一个轴对称和中心对称的结构,故以X轴为例进行物理模型。
(1) X轴开环传递函数[8]
X轴方向的机械运动方程为:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_x} = {k_e}r\dfrac{{{\rm{d}}{\theta _x}}}{{{\rm{d}}t}} + iR + L\dfrac{{{\rm{d}}i}}{{{\rm{d}}t}}} \\ {{F_x}r = \dfrac{1}{2}m{r^2}\dfrac{{{{\rm{d}}^2}{\theta _x}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} + K{\theta _x}} \\ {{F_x} = {k_m}i} \end{array}} \right.$$ (4) 式中:
${\theta _x}$ 为柔性铰链在X轴方向输出转角;$m$ 为柔性铰链支撑X轴等效负载总质量;$r$ 为音圈电机的作用点到反射镜中心的水平距离;$K$ 为柔性铰链的扭力弹性系数;$L$ 为音圈电机的电感;$R$ 为音圈电机电阻;${k_e}$ 为音圈电机反电动势系数;${k_m}$ 为音圈电机出力系数;$i$ 为流过音圈电机的电流;${F_x}$ 为X轴方向上音圈电机驱动力;${u_x}$ 为X轴方向上施加在两个串联反接音圈电机上的电压。将公式(4)整理后进行拉氏反变换,得到X轴方向开环传递函数
${G_{11}}$ 为:$${G_{11}} = \frac{{2{k_m}r}}{{m{r^2}L{s^3} + m{r^2}R{s^2} + (2{k_e}{k_m}{r^2} + 2K)s + 2KR}}$$ (5) 由公式(5)可以看出,X轴开环传函数是由一个二阶环节和一个一阶惯性环节组成的三阶系统。因此公式(5)可以化简为:
$$ {G_{11}} = \frac{{{k_1}}}{{({s^2} + 2\xi _1{\omega _{n1}}s + \omega _{n1}^2)(s + {T_1})}} $$ (6) 式中:
${\omega _{n1}} = 2\pi {f_1}$ 为图1 中FSM X轴上的一阶谐振点${f_1}$ 。(2) X轴作用Y轴的耦合传递函数
X轴作用Y轴的耦合量由非直流耦合分量和直流耦合分量两部分组成。非直流耦合分量主要来源于在非工作轴方向上二阶谐振点
${f_2}$ ,X轴作用Y轴的非直流耦合分量传递函数为谐振点${f_2}$ 对应的二阶环节;其次考虑到机械缓冲作用,叠加一个惯性环节。直流耦合分量如图2所示为一个恒定的常数,因此X轴作用Y轴的耦合通道函数${G_{12}}$ 为:$$ {G_{12}} = \frac{{{k_2}}}{{({s^2} + 2\xi _2{\omega _{n2}}s + \omega _{n2}^2)(s + {T_2})}} + {K_{xy}} $$ (7) 式中:
${\omega _{n2}} = 2\pi {f_2}$ 为反射镜X轴耦合到Y轴上的非直流耦合分量的二阶谐振点${f_2}$ ,${K_{xy}}$ 为直流耦合分量系数。同理可得Y轴的传递函数
${G_{22}}$ 和Y轴作用X轴的耦合传递函数${G_{21}}$ 。 -
根据两轴FSM的耦合来源和耦合传递函数模型的建立,为了使X轴和Y轴通道间相互独立、互不影响,文中提出了双前馈+双神经网络自适应解耦控制算法,解耦示意图如图3所示。
图 3 双前馈+双神经网络自适应解耦控制原理图
Figure 3. Principle diagram of dual feedforward + dual neural network adaptive decoupling control
采用双前馈控制算法补偿
${G_{12}}$ 和${G_{21}}$ 的直流耦合分量,搭建动态双神经网络NN1和NN2[4]分别补偿${G_{12}}$ 和${G_{21}}$ 非直流耦合分量。(1)双前馈
考虑到X轴和Y轴互相耦合的直流耦合是一个已知的固定常数,因此采用事前控制的前馈控制将直流耦合分量补偿在萌芽之中,相比于反馈控制能更加及时地进行补偿,不受系统滞后的影响。如图3所示,设计双前馈算法分别补偿
${G_{12}}$ 和${G_{21}}$ 的直流耦合分量${K_{xy}}$ 和${K_{yx}}$ 。$${K_{{{xy}}}}{\rm{ = }} - \sin (\Delta \varphi )$$ (8) 同理也可以得到
${K_{yx}}$ 。(2)双神经网络自适应解耦控制算法
考虑到X轴和Y轴互相耦合的非直流耦合特性,为了加快神经网络参数学习的速度,提高解耦的性能,采用双神经网络自适应解耦控制算法,分别设计动态神经网络NN1和NN2双结构网络补偿
${G_{12}}$ 和${G_{21}}$ 对应的非直流耦合分量。由于双神经网络NN1与NN2结构相似,以NN1为例讨论其结构和参数学习。1) NN1神经网络的结构确定
将公式(7)中耦合传递函数
${G_{12}}$ 非直流耦合分量简化为:$$\frac{{{y_1}(s)}}{{{u_{12}}(s)}} = \frac{{{b_0}}}{{{s^3} + {a_2}{s^2} + {a_1}s + {a_0}}}$$ (9) 通过拉氏变换和离散化处理得:
$$ \begin{split} {y_1}(k - 3) + {a_2}{y_1}(k - 2) + {a_1}{y_1}(k - 1) + {a_0}{y_1}(k) = {b_0}{u_{12}}(k) \end{split} $$ (10) 根据公式(10),NN1选取与
${u_{12}}(k)$ 密切相关的${y_1}(k - 3)$ 、${y_1}(k - 2)$ 、${y_1}(k - 1)$ 和${y_1}(k)$ 作为输入信号。2) NN1神经网络的参数学习
NN1神经网络采用RBF神经网络拓扑结构,如图4所示。该拓扑结构具有单隐含层的三层网络,有强大的非线性映射,收敛速度快,全局逼近能力强,尤其在不确定、非线性和强耦合系统的控制中得到了广泛的研究[9-11]。
NN1输入端变为四个输入:
${y_1}(k - 3)$ 、${y_1}(k - 2)$ 、${y_1} $ $ (k - 1)$ 和${y_1}(k)$ 。取性能指标函数为:
$${E_1}(k) = \frac{1}{2}{\rm e_1}{(k)^2} = \frac{1}{2}{[{r_1}(k) - {y_1}(k)]^2}$$ (11) 采用最速下降法[12]对神经网络进行学习和在线调整,设网络隐含层节点的基向量为
${h_i}$ ,所组成的基向量$H={[{h}_{1},{h}_{2}, \cdot \cdot \cdot ,{h}_{j}, \cdot \cdot \cdot {h}_{m}]}^{\rm T}$ 为高斯基函数:$$ {C}_{j}={[{c}_{j1},{c}_{j2}, \cdot \cdot \cdot ,{c}_{ji}, \cdot \cdot \cdot {c}_{jn}]}^{\rm T},i=1,2, \cdot \cdot \cdot n$$ (12) 设网络层隐函数节点的基宽向量为:
$$ B={[{b}_{1},{b}_{2}, \cdot \cdot \cdot ,{b}_{j}, \cdot \cdot \cdot {b}_{m}]}^{\rm T}$$ 其中,
${b_j}$ 为节点的高斯基函数半径,其大小代表网络的复杂程度,可以通过试验和误差信息选取适当的值。隐含层至输出层的权向量为:
$$ W = {[{w_1},{w_2}, \cdots} \ {{w_j}, \cdot \cdot \cdot ,{w_m}]^{\rm T}}$$ 网络的输出函数为:
$${u_{12}}(k) = \sum\limits_{j = 1}^m {{w_j}} {h_j} = \sum\limits_{j = 1}^m {{w_j}} \exp \left( - \frac{{||X - {C_j}||}}{{2b_j^2}}\right)$$ (13) 输出层权值学习公式:
$${w_j}(k) = {w_j}(k - 1) + \Delta {w_j}(k)$$ (14) $$ \begin{split} \Delta {w_j}(k) = & - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {w_j}}} = - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {y_1}}} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \cdot \dfrac{{\partial {E_{12}}}}{{\partial {w_j}}} = \\ & \eta {\rm e_1}{h_j} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \end{split} $$ (15) 基向量学习公式:
$${b_j}(k) = {b_j}(k - 1) + \Delta {b_i}(k)$$ (16) $$ \begin{split} \Delta {b_j}(k) = & - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {b_j}}} = - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {y_1}}} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \cdot \dfrac{{\partial {u_{12}}}}{{\partial {h_i}}} \cdot \dfrac{{\partial {h_j}}}{{\partial {b_i}}} = \\ & \eta {\rm e_1}{w_j}{h_j} \cdot \dfrac{{||X - {C_j}||}}{{b_j^3}} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \end{split}$$ (17) 节点中心矢量学习公式:
$${c_{ji}}(k) = {c_{ji}}(k - 1) + \Delta {c_{ji}}(k)$$ (18) $$ \begin{split} \Delta {c_{ji}}(k) =& - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {c_{ji}}}} = - \eta \dfrac{{\partial {E_1}}}{{\partial {y_1}}} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \cdot \dfrac{{\partial {u_{12}}}}{{\partial {h_j}}} \cdot \dfrac{{\partial {h_j}}}{{\partial {c_{ji}}}} = \\ & \eta {\rm e_1}{w_j}{h_j} \cdot \dfrac{{{x_j} - {c_{ji}}}}{{b_j^2}} \cdot \dfrac{{\partial {y_1}}}{{\partial {u_{12}}}} \end{split} $$ (19) 式中:
$|| \bullet ||$ 为向量欧式范数;$\eta $ 为学习率;${ {{\partial y}_{1}}}/{ {{\partial u}_{12}}}\;$ 为NN1的Jacobian信息,由于输出未知,采用常系数代替Jacobian阵,通过学习率$\eta $ 体现[9]。同理可得到神经网络NN2的结构参数。
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取被控对象
${G_{12}}$ 为:$$ {G_{12}} = \dfrac{{342\;658.45}}{{({s^2} + 57.695s + 73\;359.25)(s + 2\;022)}} + 0.025 $$ (20) 采样周期
${T_{\rm{s}}}{\rm{ = }}0.05\;{\rm{ms}}$ ,离散化后即可得到离散化的模型。通常系统在阶跃信号输入作用下工作条件比较严峻,同时也具有代表性,如果在阶跃信号作用下系统能满足性能指标,则在其他信号作用下都能满足性能指标,因此给两轴FSM系统施加阶跃信号进行实验,跟踪指令为1 mrad的阶跃信号。取前馈补偿参数
${K_{xy}}{\rm{ = }} - 0.025$ ,${y_1}(k - 3)$ 、${y_1}(k - 2)$ 、${y_1}(k - 1)$ 和${y_1}(k)$ 为RBF神经网络输入,学习速率$\eta {\rm{ = }}0.25$ ,根据网络的输入范围,高斯函数参数值为:${{c = }} $ $ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\;\;{ - 2}\;\;{ - 1}\;\;1\;\;2\;\;3 \\ { - 3}\;\;{ - 2}\;\;{ - 1}\;\;1\;\;2\;\;3 \\ { - 3}\;\;{ - 2}\;\;{ - 1}\;\;1\;\;2\;\;3 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ,${{b = }}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\;\;2\;\;2\;\; 2\;\;2\;\;2 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ,网络的初始权值选取[0,1]之间的随机数。将双前馈+双神经网络自适应解耦控制算法与传统的PID控制算法在阶跃信号的作用下进行对比,实验结果如下所示。
(1)采用传统的PID控制算法给X轴和Y轴分别施加1 mrad单位阶跃信号,X轴和Y轴的阶跃响应曲线如图5(a)、(b)所示。
图 5 X轴和Y轴单独施加1 mrad阶跃信号—采用传统PID解耦控制算法阶跃响应曲线
Figure 5. A step signal of 1 mrad is applied separately to X and Y axis—Step response curve of traditional PID control decoupling algorithm
从图5(a)、(b)中可以看出,采用传统的PID控制算法,X轴耦合到Y轴和Y轴耦合到X轴的耦合量分别为6.0%和3.8%。
(2)采用传统的PID控制算法给X轴和Y轴同时施加1 mrad单位阶跃信号,X轴和Y轴的阶跃响应曲线如图6所示。
图 6 X轴和Y轴同时施加1 mrad阶跃信号—采用传统PID解耦控制算法阶跃响应曲线
Figure 6. A step signal of 1 mrad is applied simultaneously to X and Y axis—Step response curve of traditional PID control decoupling algorithm
从图6中可以看出,采用传统的PID控制算法,X轴和Y轴的定位精度分别为1.9%和3.1%。
(3)采用双前馈+双神经网络自适应控制算法给X轴和Y轴分别施加1 mrad单位阶跃信号,X轴和Y轴的阶跃响应曲线如图7(a)、(b)所示。
图 7 X轴和Y轴单独施加1 mrad阶跃信号—采用双前馈+双神经网络自适应运动解耦控制算法阶跃响应曲线
Figure 7. A step signal of 1 mrad is applied separately to X and Y axis—Step response curve of dual feedforward + dual neural network adaptive decoupling control algorithm
从图7(a)和(b)中可以看出,双前馈+双神经网络自适应解耦控制算法,X轴耦合到Y轴和Y轴耦合到X轴的耦合量分别为0.09%和0.04%。
(4)采用双前馈+双神经网络自适应控制算法给X轴和Y轴同时施加1 mrad单位阶跃信号,X轴和Y轴的阶跃响应曲线如图8所示。
从图8中可以看出,双前馈+双神经网络自适应解耦控制算法,X轴和Y轴的定位精度分别为0.1‰和0.5‰。
Decoupling control of fast steering mirror based on dual feedforward + dual neural network adaptive
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摘要: 基于柔性铰链结构支撑和音圈电机驱动的两轴快速反射镜是一个两输入两输出强耦合系统,X轴和Y轴间的耦合大幅降低了反射镜的定位精度,采用传统的PID控制算法很难实现高精度的解耦控制。针对中心对称和轴对称结构形式的两轴快速反射镜,理论分析了两轴快速反射镜耦合来源—直流耦合分量和非直流耦合分量;建立了X轴和Y轴间的耦合物理模型;提出的双前馈+双神经网络自适应解耦控制算法分别补偿直流耦合分量和非直流耦合分量。实验结果表明:该控制算法与传统的PID控制算法相比,耦合度从5%左右降低到1.0‰以内,从而定位精度从2.5%左右提高到0.5‰以内。Abstract: Two-axis fast steering mirror based on flexure hinge support and voice coil motor drive is a strong coupling system with two inputs and two outputs. The coupling between X-axis and Y-axis greatly reduces the positioning accuracy of the fast steering mirror. It is difficult to achieve high precision decoupling control by using traditional PID control algorithm. Based on the centrosymmetric and axisymmetric two-axis fast steering mirror, the coupling sources of the two-axis fast steering mirror—DC coupling component and non-DC coupling component were analyzed theoretically, and the coupling physical model of between X-axis and Y-axis was established. A dual feedforward + dual neural network adaptive decoupling control algorithm was proposed to respectively compensate DC coupling components and non-DC coupling components. Experimental results show that, compared with the traditional PID control algorithm, the coupling degree of the proposed algorithm is reduced from about 5% to less than 1.0‰, which significantly improves the positioning accuracy from about 2.5% to less than 0.5‰.
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[1] 马佳光. 捕获跟踪与瞄准系统的基本技术问题[J]. 光电工程, 1989(3): 1-42. [2] Ma Jiaguang, Tang Tao. Review of compound axis servomechanism tracking control technology [J]. Infrared and Laser Engineering, 2013, 42(1): 218-227. (in Chinese) doi: 10.3969/j.issn.1007-2276.2013.01.040 [3] Brown D C, Pruyn K. Flexure pivots for oscillatory scanners [C]//Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2002, 4773: 12-26. [4] Kluk D J. An advanced fast steering mirror for optical communication [DB/OL]. Massachusetts Institute of Technology, 2007, https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/40858. [5] 鲁亚飞. 快速反射镜机械结构特性设计问题研究[D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2009. Lu Yafei. Research on fast/fine steering mirror system[D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2009. (in Chinese) [6] 吴松航, 董吉洪, 徐抒岩, 等. 快速反射镜椭圆弧柔性铰链多目标优化设计[J/OL]. 红外与激光工程: 1-12[2021-04-20]. http://kns.cnki.net/kcms/detail/12.1216.TN.20201010.1621.004.html. Wu Songhang, Dong Jihong, Xu Shuyan, et al. Multi-objective optimal design of elliptic flexible hinge in fast steering mirror [J]. Infrared and Laser Engineering, 2021, 50(4): 20200286. (in Chinese) [7] Ai Zhiwei, Ji Jianbo, Wang Pengju, et al. Integrative design of structure control for two-axis fast steering mirror with flexible support [J]. Infrared and Laser Engineering, 2020, 49(7): 20190479. (in Chinese) [8] Wang Kaidi, Su Xiuqin, Li Zhe, et al. Time-frequency characteristics optimal control of fast steering mirror for image motion compensation [J]. Infrared and Laser Engineering, 2018, 47(S1): S120003. [9] Wang H, Chen B, Lin C, et al. Observer-based neural adaptive control for a class of MIMO delayed nonlinear systems with input nonlinearities [J]. Neurocomputing, 2017, 275: 1988-1997. [10] Mastorocostas, Paris A, Theocaris, et al. A recurrent fuzzy-neural model for dynamic system identification [J]. IEEE Transactions on Systems, Man & Cybernetics—Part B: Cybernetics, 2002, 32(2): 176-190. [11] Zhu Lu, Chen Changrong. Design of neural network adaptive controller for aircraft formation [J]. Tactical Missile Technology, 2019(5): 58-63. (in Chinese) [12] Dang Xuanju, Yang Chunxiao. Feedforward-based double neural network decoupling control for two-dimensional linear motor [J]. Computer Simulation, 2014, 31(8): 342-346. (in Chinese)