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离轴三反系统是在同轴三反系统基础上进行离轴化得到的,其常见布局如图1所示。该系统主要由主镜M1、次镜M2、三镜M3组成。每个反射镜面的圆锥系数分别为
$ - e_1^2$ 、$ - e_2^2$ 、$ - e_3^2$ ,M1和M2的遮拦比分别为α1、α2,M2和M3的放大率分别为β1、β2。图 1 同轴三反初始结构示意图
Figure 1. Schematic diagram of the initial structure of the on-axis three-mirror system
由近轴光学理论,可根据遮拦比和放大率得到反射镜的曲率半径和相应距离的表达式分别为:
$$\left\{ {\begin{array}{l} {{r_1} = \dfrac{2}{{{\beta _{\rm{1}}}{\beta _{\rm{2}}}}}{f^\prime }\;\;{r_2} = \dfrac{{2{\alpha _{\rm{1}}}}}{{\left( {1 + {\beta _{\rm{1}}}} \right){\beta _{\rm{2}}}}}{f^\prime }\;\;{r_3} = \dfrac{{2{\alpha _{\rm{1}}}{\alpha _2}}}{{1 + {\beta _{\rm{2}}}}}{f^\prime }} \\ {{d_1} = \dfrac{{1 - {\alpha _{\rm{1}}}}}{{{\beta _{\rm{1}}}{\beta _{\rm{2}}}}}{f^\prime }\;\;{d_2} = \dfrac{{{\alpha _{\rm{1}}}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)}}{{{\beta _{\rm{2}}}}}{f^\prime }\;\;{d_3} = {\alpha _1}{\alpha _2}{f^\prime }} \end{array}} \right.$$ (1) 式中:f '为三反光学系统总焦距。
通过追踪边缘光线和主光线,结合像差理论,得到轮廓参数α1、α2、β1、β2、
$ - e_1^2$ 、$ - e_2^2$ 、$ - e_3^2$ 表示的单色像差,其像差系数SⅠ、SⅡ、SⅢ、SⅣ、SⅤ是关于α1、α2、β1、β2、$ - e_1^2$ 、$ - e_2^2$ 、$ - e_3^2$ 的函数[20]。为了降低装调难度,设计主镜和三镜一体化结构。于是,M1和M3与M2之间距离应相等,即d1=−d2,可得到:
$${\beta _{\rm{1}}}{\rm{ = }}\dfrac{{1 - {\alpha _{\rm{1}}}}}{{{\alpha _{\rm{1}}}\left( {{\alpha _{\rm{2}}} - 1} \right)}}$$ (2) 在平像场条件下,根据像差理论可得到SIV=0,即:
$${\beta _{\rm{2}}}{\rm{ = }}\dfrac{1}{{{\alpha _2}{\beta _{\rm{1}}}\left( {1 - {\alpha _1}} \right) + {\alpha _2} - 1}}$$ (3) 主三镜一体化结构的像差系数SⅠ、SⅡ、SⅢ和SⅤ是关于αi(i=1,2)、
$ - e_j^2$ (j=1,2,3)的复杂的函数,其隐式表达为:$$\left\{ {\begin{array}{l} {{S_{\rm{I}}} = {S_{\rm{I}}}\left( {{\alpha _i}, - e_j^2} \right)} \\ {{S_{{\rm{II}}}} = {S_{{\rm{II}}}}\left( {{\alpha _i}, - e_j^2} \right)} \\ {{S_{{\rm{III}}}} = {S_{{\rm{III}}}}\left( {{\alpha _i}, - e_j^2} \right)} \\ {{S_{\rm{V}}} = {S_{\rm{V}}}\left( {{\alpha _i}, - e_j^2} \right)} \end{array}} \right.$$ (4) 光学系统初始结构设计是光学设计过程中的关键。由公式(4)可知,选择合适的轮廓参数α1、α2、
$ - e_1^2$ 、$ - e_2^2$ 、$ - e_3^2$ ,使得SⅠ、SⅡ、SⅢ、SⅤ趋于0,即可获得小像差的系统初始结构布局。基于以上像差分析,文中建立了评价光学系统初始结构性能的误差约束函数Q。该误差函数由主三镜一体化结构的各个像差系数组成,也可以根据系统其他布局要求添加约束条件,其表达式为:
$$ \begin{array}{c}Q=Q({\alpha }_{1}{\text{、}}{\alpha }_{2}{\text{、}}{e}_{1}^{2}{\text{、}}{e}_{2}^{2}{\text{、}}{e}_{3}^{2}) =\left|{S}_{\rm{I}}\right|+\left|{S}_{\rm{II}}\right|+\left|{S}_{\rm{III}}\right|+\left|{S}_{\rm{V}}\right|\end{array}$$ (5) 误差约束函数Q的值越小,代表光学系统的成像质量越好。采用量子遗传算法对误差约束函数Q进行多次迭代求出其最小值的最优解,从而确定系统初始结构布局,再通过光学设计软件对初始结构进一步优化。量子遗传算法是一种全局优化算法,可以获得全局最优解[21],其原理是建立在量子位和量子叠加态的基础上。一个量子位可以表示处于1态(表示|1〉)、0态(表示|0〉)或者两者相叠加状态的信息。量子位可以表示为:
$$\left| \varphi \right\rangle {\rm{ = }}A\left| 0 \right\rangle + B\left| 1 \right\rangle $$ (6) 式中:A和B分别表示量子状态被发现为0态和1态的概率幅度值。将量子比特的概率幅值表示应用于染色体的编码,使得一条染色体可以表示多个态的叠加,并利用量子旋转门向着最优个体方向进化,达到了种群更新和完成进化的目的。基于量子遗传算法搜索误差约束函数最小值的最优解的流程如图2右侧所示。
图2左侧为主要设计流程图,其具体设计过程:第一步,根据像差分析建立评价光学系统性能的误差约束函数Q;第二步,采用量子遗传算法求解误差约束函数最优解,获取初始结构遮拦比αi(i=1,2)和圆锥常数
$ - e_j^2$ (j=1,2,3);第三步,基于第二步求解得到的参数值,根据公式(1)~(3)计算结构参数r1、r2、r3、d1、d2、d3;第四步,将获得的初始结构输入到光学设计软件中进一步优化,继而得到离轴系统设计结构。在第二步中,初始结构遮拦比αi(i=1,2)和圆锥常数$ - e_j^2$ (j=1,2,3)的合理求解至关重要。首先,使用量子位将遮拦比αi(i=1,2)、圆锥常数$ - e_j^2$ (j=1,2,3)编码成一条染色体,将量子比特概率幅值表示应用于染色体的编码,初始化种群。然后,对种群进行测量,计算种群中个体适应度,进而保留种群中最优个体和适应度。最后,判断是否满足条件,如果不满足则进入下一代迭代,用当前最优个体诱导量子旋转产生新的种群,使得种群向着最优个体进化,再次返回测量步骤,如此循环下去,直至满足条件,迭代出误差约束函数最小值的最优解,进而通过解码即可得到光学系统初始遮拦比αi(i=1,2)和圆锥常数$ - e_j^2$ (j=1,2,3)。 -
在合理限定参数范围之后,利用量子遗传算法得到误差约束函数最小值的最优解,从而得到主三镜一体化的同轴三反系统的初始结构。在此基础上,对初始系统进行离轴化处理,并引入自由曲面替代二次曲面校正离轴像差,最终实现成像质量良好、结构紧凑的自由曲面主三镜一体化离轴三反系统设计。表1给出了所设计的光学系统视场角范围为X方向[−5°,5°]、Y方向[−14°,−10°]的具体参数。
表 1 光学系统参数
Table 1. Optical system parameters
Parameter Specification Field of view/(°) 10×4 F-number 2 Wavelength/nm 400-760 Effective focal length/mm 120 MTF/lp·mm−1 >0.9@50 Pixel size/μm 10 一个合理的同轴三反初始结构布局须满足一定的边界条件:d1<0,d2>0和d3<0。因此,在一次成像系统中满足焦距为负和光焦度分配的原则,结合公式(1)可知,参数α1、α2应满足:0<α1<1,α2>1。在上述条件下,结合对系统体积要求及加工难易程度等因素的综合考虑,设置了如表2所示的参数范围。
表 2 参数取值范围
Table 2. Ranges of parameters
Parameter α1 α2 $ - e_1^2$ $ - e_2^2$ $ - e_3^2$ Range [0.1,0.5] [1.5,2.1] [−5,5] [−5,5] [−5,5] 在量子遗传算法中,种群更新是通过量子旋转门完成的。文中选择的量子旋转门更新策略如表3所示,其中,旋转角度θi=s(Ai,Bi)×Δθi,s(Ai,Bi)表示旋转方向,Δθi为旋转角的角度增量。
表 3 量子门旋转更新策略
Table 3. Quantum gate rotation update strategy
xi besti f(x)>f(besti) Δθi s(Ai,Bi) AiBi>0 AiBi<0 Ai=0 Bi=0 0 0 False 0 0 0 0 0 0 0 True 0 0 0 0 0 0 1 False 0.01π 1 −1 0 ±1 0 1 True 0.01π −1 1 ±1 0 1 0 False 0.005π −1 1 ±1 0 1 1 True 0.005π 1 −1 0 ±1 1 1 False 0 0 0 0 0 1 1 True 0 0 0 0 0 根据公式(5)所定义的误差约束函数和表2列出的参数范围,可通过量子遗传算法搜索误差约束函数最小值的最优解,从而获取具有合理布局的初始结构。误差约束函数的收敛曲线如图3所示,从中可得到误差约束函数Q的收敛结果以及相应的轮廓参数取值,其圆锥常数
$ - e_j^2$ (j=1,2,3)在表4中给出。表 4 同轴三反系统的初始结构参数
Table 4. Initial configuration parameters of the on-axis three-mirror system
Mirror Radius/mm Thickness/mm Conic M1 −467.19 −141.68 0.117 M2 −109.60 141.68 2.052 M3 −143.19 −96.51 −0.044 将误差约束函数收敛结果(即轮廓参数)代入公式(1)~(3)中,计算得到如表4所示的同轴三反系统参数,并可将其作为离轴三反系统的初始结构。图4(a)、(b)分别为初始结构的布局和调制传递函数(MTF)曲线。从图4中可以看出,该初始结构紧凑,且MTF接近衍射极限,成像质量良好。上述结果表明,基于上述量子遗传算法可以搜索得到满足条件的初始结构。
图 4 初始结构的(a) 布局及(b) 调制传递函数
Figure 4. (a) Layout and (b) MTF of the initial structure of the on-axis three-mirror system
以上述方法将得到的初始结构作为优化起点,为了增大光学系统视场,将光阑置于次镜,并对同轴三反初始结构采用视场离轴和孔径离轴相结合的综合离轴方式,以避免光线遮拦。同时,根据光线追迹原理,为了给反射镜留有一定的支撑结构,需要对结构布局间隔进行约束。
图5(a)和图5(b)分别为间隔约束和视场扩展示意图。其中,图5(a)给出了间隔的约束范围,在优化过程中,为保证主三镜在Z轴位置一致,需满足|d1|=|d2|。如图5(b)所示,在增大视场过程中,为了在整个视场范围内获得比较好的成像质量,选取一半视场范围内的九个视场点:(0°,−10°),(0°,−12°),(0°,−14°),(2.5°,−10°),(2.5°,−12°),(2.5°,−14°),(5°,−10°),(5°,−12°),(5°,−14°)。由于边缘视场的像差要比中心视场大,在优化设计过程中,需要根据优化的多次中间结果不断调节各个视场的优化权重,以平衡各视场在像面上的成像质量。由于自由曲面可以提供更多的设计自由度,因而引入自由曲面替代二次曲面校正离轴带来的像差,以大幅提高成像性能。采用渐进式逐步逼近最优策略,从低阶项开始逐步引入高阶项作为变量进行优化。
图 5 (a) 间隔约束和(b) 视场拓展示意图
Figure 5. Schematic diagram of (a) layout constraint and (b) expansion the field of view
在表征自由曲面时选择XY多项式,其表达式与数控加工使用的表达式相同,适合加工。此外,为了保证光学系统关于YOZ平面对称,只使用XY多项式中x的偶数项,即先对只含有y项的参数进行优化,再选择含有x项的偶次项进行优化。XY多项式的面型矢高定义为在二次基底基础上加上泰勒展开式,即:
$${\textit{z}}\left( {x,y} \right) = \dfrac{{c\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{{1 + \sqrt {1 - (k + 1){c^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} }} + \sum\limits_{i = 1}^N {{A_i}{E_i}\left( {x,y} \right)} $$ (7) $$i = \dfrac{{\left( {{{\left( {m + n} \right)}^2} + m + 3n} \right)}}{2} + 1$$ (8) 式中:c为顶点处曲率;k为圆锥系数;Ai为XY多项式第i项的系数;Ei(x,y)为XY多项式的第i项。
经过对初始结构优化后,最终得到X方向上视场为10°(−5°~5°)、Y方向上视场为4°(−14°~−10°)的离轴三反系统,其自由曲面的多项式系数如表5所示,系统的最终布局如图6(a)所示,其结构参数列于表6。比较表4和表6可知,虽然最终结构参数相比于初始结构参数有一定变化,但仍接近于初始结构参数,从而说明了合理的初始结构设计有利于快速、有效地实现最终设计目标,从而大幅降低后续优化难度。在图6(b)中,主镜M1和三镜M3在垂直方向上近似相切,且M1~M3元件的中心部分不接收任何光线,使得在一块基板上制造两个反射镜变得可能,进而可以由一个完整的加工过程中制造得到。
表 5 三反系统自由曲面多项式系数值
Table 5. Polynomial coefficients of freeform surface for three-mirror system
Item M1 M2 M3 y −5.825E-003 −1.148E-003 −5.519E-004 x2 −1.352E-003 2.242E-004 −1.851E-004 y2 −1.336E-003 2.196E-004 −1.895E-004 x2y 1.374E-008 −4.828E-008 −5.616E-009 y3 −2.060E-008 −1.371E-007 −6.372E-009 x4 7.533E-010 1.052E-010 −3.402E-010 x2y2 1.136E-009 −2.277E-010 −7.071E-010 y4 6.287E-010 −1.3E-010 −3.559E-010 x4y −2.124E-012 3.946E-014 x2y 3 1.941E-013 6.297E-014 y5 −7.222E-015 8.015E-014 x6 −3.345E-015 −1.147E-015 x4y2 8.395E-015 −4.474E-015 x2y4 −2.407E-015 −5.253E-015 y6 −7.531E-016 −1.681E-015 图 6 光学系统:(a) 结构布局;(b) M1~M3元件集成化仿真
Figure 6. Optical system: (a) Structure layout;(b) Integrated simulation of M1-M3 components
表 6 离轴三反系统的最终结构参数
Table 6. Final configuration parameters of the off-axis three-mirror system
Mirror Radius/mm Thickness/mm Conic M1 −436.92 −218.86 −1.611 M2 −243.10 218.86 3.461 M3 −329.40 −240.47 0.548 自由曲面离轴三反系统的视场内能量集中度、RMS波前误差和调制传递函数MTF分别如图7(a)~(c)所示。从图7(a)中可以看出,在视场内80%的能量均集中在艾里斑(RAiry=1.558 μm)内,其能量集中度较高。分析图7(b)可知,系统的最大RMS波前误差为0.0485λ(参考波长λ=0.6328 μm),平均RMS波前像差为0.0377λ,可见其系统的波前误差较小。图7(c)表明,各视场的MTF均接近衍射极限,在50 lp/mm处大于0.9,成像质量良好。
Design of freeform surface off-axis reflective optical systems based on quantum genetic algorithm
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摘要: 针对自由曲面离轴反射光学系统的初始结构较少、优化过程复杂的问题,提出了一种基于量子遗传算法的离轴反射光学系统设计方法,即采用量子遗传算法结合像差理论得到高像质的初始光学系统结构,再对其离轴化处理并引入自由曲面,进而设计得到自由曲面离轴反射光学系统。该方法可以方便、快捷地为自由曲面离轴反射光学系统提供像质良好、特定布局的初始结构。以离轴三反系统为例,采用该方法设计了一套工作在可见光波段、视场大小为10°×4°、F数为2的主三镜一体化的自由曲面离轴三反系统。仿真结果表明,该离轴三反系统视场较大、结构紧凑、成像质量良好,其最大RMS波像差为0.0485 λ (λ=0.6328 μm),全视场的调制传递函数(MTF)在50 lp/mm处大于0.9,且一体化集成结构有利于简化系统的对准及装调。Abstract: Aiming at solving the problem of fewer initial structures and complicated optimization processes for freeform surface off-axis reflective optical systems, a method for designing off-axis reflective optical systems based on quantum genetic algorithm was proposed. In such method, quantum genetic algorithm combined with aberration theory was adopted to obtain an initial optical system structure with good image quality, and then the off-axis process was accomplished and the freeform surface was further introduced to obtain the well-designed freeform surface off-axis reflective optical system. The method could easily and quickly provide initial structure with good image quality. Taking the off-axis three-mirror system working in visible light band as an example, a freeform surface off-axis three-mirror system with field-of-view of 10°×4° and F-number of 2 was designed with the primary mirror and the tertiary mirror being integrated together. Simulation results indicate that the designed off-axis three-mirror system exhibits a large field-of-view, a compact structure and a good image quality. The maximum root mean square (RMS) wavefront error of the system is 0.0485 λ (λ=0.6328 μm) and the modulation transfer functions (MTF) of the full fields are all greater than 0.9 at 50 lp/mm. Besides, the integrated structure is benefit for the simplification of the alignment and installation of the system.
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表 1 光学系统参数
Table 1. Optical system parameters
Parameter Specification Field of view/(°) 10×4 F-number 2 Wavelength/nm 400-760 Effective focal length/mm 120 MTF/lp·mm−1 >0.9@50 Pixel size/μm 10 表 2 参数取值范围
Table 2. Ranges of parameters
Parameter α1 α2 $ - e_1^2$ $ - e_2^2$ $ - e_3^2$ Range [0.1,0.5] [1.5,2.1] [−5,5] [−5,5] [−5,5] 表 3 量子门旋转更新策略
Table 3. Quantum gate rotation update strategy
xi besti f(x)>f(besti) Δθi s(Ai,Bi) AiBi>0 AiBi<0 Ai=0 Bi=0 0 0 False 0 0 0 0 0 0 0 True 0 0 0 0 0 0 1 False 0.01π 1 −1 0 ±1 0 1 True 0.01π −1 1 ±1 0 1 0 False 0.005π −1 1 ±1 0 1 1 True 0.005π 1 −1 0 ±1 1 1 False 0 0 0 0 0 1 1 True 0 0 0 0 0 表 4 同轴三反系统的初始结构参数
Table 4. Initial configuration parameters of the on-axis three-mirror system
Mirror Radius/mm Thickness/mm Conic M1 −467.19 −141.68 0.117 M2 −109.60 141.68 2.052 M3 −143.19 −96.51 −0.044 表 5 三反系统自由曲面多项式系数值
Table 5. Polynomial coefficients of freeform surface for three-mirror system
Item M1 M2 M3 y −5.825E-003 −1.148E-003 −5.519E-004 x2 −1.352E-003 2.242E-004 −1.851E-004 y2 −1.336E-003 2.196E-004 −1.895E-004 x2y 1.374E-008 −4.828E-008 −5.616E-009 y3 −2.060E-008 −1.371E-007 −6.372E-009 x4 7.533E-010 1.052E-010 −3.402E-010 x2y2 1.136E-009 −2.277E-010 −7.071E-010 y4 6.287E-010 −1.3E-010 −3.559E-010 x4y −2.124E-012 3.946E-014 x2y 3 1.941E-013 6.297E-014 y5 −7.222E-015 8.015E-014 x6 −3.345E-015 −1.147E-015 x4y2 8.395E-015 −4.474E-015 x2y4 −2.407E-015 −5.253E-015 y6 −7.531E-016 −1.681E-015 表 6 离轴三反系统的最终结构参数
Table 6. Final configuration parameters of the off-axis three-mirror system
Mirror Radius/mm Thickness/mm Conic M1 −436.92 −218.86 −1.611 M2 −243.10 218.86 3.461 M3 −329.40 −240.47 0.548 -
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