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激光测月（Lunar Laser Ranging，LLR）是通过测量激光光子从地面观测站到月面角反射器的往返时间计算地月距离的技术手段，对于研究天文地球动力学、地月科学、月球物理学和引力理论等具有重要意义[1-3]。2018年,云南天文台成功实现了国内首次月球激光测距，使用的是转镜共光路结构与10 Hz的测距重复频率[4]。
在测距系统中，发射的激光脉冲称为主波，目标反射的光子称为回波。由于地月平均距离约38万km，远大于地球附近空间目标的轨道高度，LLR对望远镜的指向性有极高的精度要求，利用共光路能够确保收发光路的一致性[5- 6]。在云南天文台开发的共光路结构中，通常使用转镜进行发射光路与回波光路的高速切换。
转镜在结构上包括了电机、反射镜面以及挡片等，反射镜面上存在小孔以便于主波穿过，转镜在测距过程中以固定频率持续转动。在主波发射时，激光穿过转镜上的小孔进入到发射光路中；此时在接收端由于探测器距离门为关闭状态，不会对入射光子进行响应[7]。在回波接收时，回波光子进入望远镜光路并在转镜上反射，最后到达探测器；此时距离门处在开启状态，探测器可以对入射光子进行探知。在此类结构中，主回波重叠会对回波采集产生严重影响。
主回波重叠，是指主波发射时也是回波返回的时刻，此时转镜位于激光穿孔位置，会导致：(1）回波难以进入接收终端；(2）主波杂散光较强，会进入接收端，若距离门此时开启，探测器会产生剧烈的响应，在软件用户界面上表现为采集到极为强烈的噪声。在使用超导探测器的情况下，强烈的杂散光甚至可能导致超导器件失去超导态。而相较于传统的10 Hz测月频率，在100 Hz的情况下，重叠现象将更为频繁地出现。
在以合作目标（地球轨道卫星）作为测距对象时，有过对主回波重叠情况的模拟[8]。鉴于合作目标属于近地目标，而测距频率为1 kHz，其对于测月实验的参考价值有限。在总体上国内外相关的研究相对较少。文中从信号时序的角度对主回波重叠进行模拟，分析其产生的原因，研究在观测时段内应对主回波重叠的手段，对于同类型的激光测距系统的开发具有重要意义。
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作为分析的前提条件，系统中存在以下基本情况：
（1）回波时刻点的界定
进行100 Hz的激光测距时，主波与回波呈现的一一对应关系相对明显。回波可能会由于传播发生脉冲展宽，或由于目标的复杂反射面产生多重回波脉冲的情况[9]。短时间内较集中的回波脉冲群组都可以认为是由单一一次主波发射造成的一组回波。在文中的分析中，回波时刻以单个测距周期内探测器响应输出的第一个脉冲信号为准。
（2）采用TOF理论值的模拟与实际的差别
光子的飞行时间（Time of Flight，TOF）是指测距时激光光子从测站发射、被目标反射、最后返回测站所需的时间，剔除系统延迟后，可用于计算测站与目标之间的距离。目标与测站间的理论回波时刻来自于测距目标的轨道预报，理论回波时刻与实际测量的回波时刻间的偏差称为残差。以1 km级的预报精度为例（实际预报精度通常优于此值），根据真空中光速计算，其对应的残差范围达到约3微秒（1 000 m/（3×108 m/s）），而转镜的穿孔时段通常为几百微秒甚至达到毫秒量级，前者远小于后者，且该影响随着测距精度的提升而更加微小，故利用TOF理论值进行计算是有效可行的。
（3）转镜与信号时序
测距过程中转镜的位置以及主回波重叠的情况见图1，测距时的信号时序见图2。以穿孔时段表示转镜上的孔经过发射光轴路径位置所需的时间。
Figure 1. Rotating mirror’s position and transmitting/echo signal overlapping. (a) Normal transmitting; (b) normal receiving; (c) transmitting/echo signal overlapping
Figure 2. Time sequence of signals in ranging
在图2的时序中，在n时刻（n为整数）时，转镜产生了同步信号时刻R(n)，对应地产生了激光脉冲的主波时刻T(n)，主波时刻总是位于穿孔时段内。穿孔时段（Hole-pass）是转镜上的开孔经过发射光轴所需时间，起始于R´(n)，持续时间为tw。回波时刻E(n)表示回波返回到探测器的时刻，E(n)与T(n)间满足：
重叠在时序上的表现为，回波时刻E(n)存在于穿孔时段中间。造成重叠的通常是第n时刻产生的主波，经过长时间传播得到的E(n)，落在了后续某个周期的穿孔时段内，产生了主回波的重叠。
图3显示了重叠发生时系统的信号时序。一方面，作为转速稳定的同步信号R(n)，以t代表转镜周期，转镜上开孔数量为2，在转镜转速r=3 000 r/min情况下，t为0.01 s（100 Hz频率）。R(n)与n存在关系：
以R´(n)代表主波开始穿孔的时刻，tr代表该时刻与转镜同步信号间延时，则：
另一方面，一次测距实验中，在时间序列上一定存在一个与测距目标当前时刻的TOF值所对应的m(n)值，m(n)为整数，使得：
由于系统中是由转镜同步信号R(n)触发激光器产生主波T(n)，二者间延时以ts表示，则：
根据公式（2）和公式（5），作为按照固定频率产生的激光发射主波时刻序列，T(n)满足：
由此可得重叠发生时的回波时刻条件，tw作为穿孔时段时长。对于在n时刻的激光脉冲产生的回波E(n)，则当：
时，发生主回波重叠，如图3所示。
Figure 3. Hole-passing time in time sequence
结合前文分析，将公式（1）~（6）代入公式（7），逐步推导，可得：
将式中延迟量统一为综合延迟 td，令：
则公式（10）可化简为：
若是将整个过程理想化，假设综合延迟项td=0，则条件可进一步化简为：
它表示了目标所对应TOF的变化，也即目标与测站间距离的变化是产生重叠现象的主要原因。在任一时刻n，当TOF相对于测距整周期时段的差值小于转镜穿孔时段时，会发生主回波重叠。根据以上推导，参考目标预报，可模拟出百赫兹激光测距系统对目标进行测距时主回波重叠现象的情况。
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共光路百赫兹激光测月的主要目标之一是月面角反射器Apollo-15，从其某日的轨道预报中提取TOF值与时间信息作为输入量进行模拟。
（1）整体模拟
根据上文公式推导，以公式（12）中右侧部分作为重叠区域上限UB（Upper Bound），左侧部分作为下限LB（Lower Bound），TOF曲线位于重叠区域中时表示会发生主回波重叠现象。模拟的结果如图4所示。对序列进行统计，可得当天观测时段内主回波重叠的比率为约8%，该值为重叠部分在当天预报的TOF曲线中的占比，会随着TOF曲线与重叠区域的相对位置变化而改变。
Figure 4. General overlapping simulation
（2）分段模拟
通过插值计算出每一点主波发射时刻T(n)，结合TOF(n)得到其对应回波序列E(n)。对于每个E(n)，找到其附近R’(x)判定是否发生重叠。R’(x)可以通过寻找E(n)附近的T(x)来确定。可能的T(x)为与E(n)相邻的主波时刻如图5所示。
Figure 5. E(n) and T(x) in time sequence
通过结果统计，整合后可以得到所截取时段内主回波重叠发生率变化曲线，如图6所示。图中在特定时段出现了必定出现主回波重叠的“峰”，数量为5，考虑到分段时舍弃了数组末尾，出现峰的数量与位置和图4中模拟情况相符合。
Figure 6. Curve of transmitting/echo signal overlapping ratio changing with time
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根据模拟结果，在百赫兹的激光测月过程中，主回波重叠是在特定时段内必定发生的。对公式（12）重新进行分析。其中TOF(n)、m(n)都是只与当前时刻关联的数值，无法改变；td为综合延迟项；tw为穿孔时段的持续时间，t为周期，二者与转镜转速息息相关。
由此可以得到避开主回波重叠方法的两个调整点：（1）综合延迟；（2）转镜转速。二者的效果均为改变了重叠区域上下限（m(n)×t−td与tw−td+m(n)×t），从而引起重叠位置的偏移，以此避免特定时段中的重叠现象。
但在实际观测过程中，仪器增加的延迟难以保证精度，而延时设备自身的信号抖动也会造成抖动的积累。较为便捷的方式为调节转镜转速。转镜转速的调整量需考虑后续激光器所需触发信号的输入要求，在一定范围内进行调整。
（1）转速调整模拟
转速的改变也将引起激光发射周期t和穿孔时段tw的改变。由于转镜上两个开孔占据了孔心所处转动圆周长度中固定的弧长，故tw与t的比值总是一个固定的值。转速的增加或减小引起了t与tw的减小或增加，导致了重叠区域（m(n)×t−td至tw−td+m(n)×t）在坐标系统中整体向下或向上移动，使得原本会发生重叠的TOF曲线对应位置发生偏移，从而避开重叠区域。
仿真改变转镜转速对主回波重叠现象的规避效果，结果如图7所示。
Figure 7. Overlapping boundaries shifting due to rotational speed adjustment
由图7可以看出，转速的调整引起了重叠区域上下限相较于TOF曲线发生偏移，使得原本可能发生主回波重叠的时段改变了发生时刻；其中图7（a）为初始情况下（无转速调整）的重叠情况，图7（b）、7（c）分别表示了转速变动为–10与+10 r/min情况下重叠区域与TOF曲线的相对位置关系，由于转速变动引起了重叠区域偏移，原本发生重叠的位置（n=5 000附近）在转速变动后（见图7（b）、（c））已经脱离了重叠区域。
图8表示了转速的调整范围与当日预报测距时段内重叠整体发生率的关系。横坐标为转速调整量从–30 r/min至+30 r/min（主波信号频率偏移–0.6~0.6 Hz），纵轴表示了目标预报内整体的重叠发生率。对重叠的整体规避效果与目标的TOF值相关，转速的微调可以避开特定时段内重叠的发生，但对预报时段整体的重叠发生率的影响却较为复杂。以转速调整+10（图7（c）情况）为例，此时虽然避开了n=5 000点附近的重叠现象，但由于TOF曲线有更多的部分处在下方的重叠区域，导致了整体的重叠发生率反而增加了（见图8，由0位置的小于10%升到了+10位置的25%）。而对应地，存在着减小重叠发生率的转速最佳值，但由于其与预报TOF曲线的紧密联系，并非一个固定的值。故转速调整最好作为临时的手段，在经过理论重叠的时间点后调整回原状。
Figure 8. Relation between rotating speed adjustment and the transmitting/echo signal overlapping ratio
转镜转速的调整，改变了转镜周期和穿孔时段时长，由此导致了重叠区域上下限的偏移，继而引起了重叠发生时刻的变动，对此加以利用可避免特定时段内重叠的发生。
（2）转速调整实验
在预报当日的实验进行了调整转镜转速实验，用于观察调整转镜转速对于回波接收的影响，调整过程中观测到了如图9所示的情况。
Figure 9. Transmitting/echo signal overlapping during experiment
图示实验时间为UTC-11：50，当日预报开始时间为UTC-10：30。实验时刻对应到图4的模拟曲线上，为横轴坐标n=4 800点附近，大致处于重叠发生的时刻范围。
屏幕主要区域（绿色底板部分）显示的是测距中回波点残差值（纵轴）相对于时间（横轴）的变化，白点表示在与主波进行匹配后的，处在识别信号门限内的回波时刻点。可见图中出现了大块的白点区域（图9中红框区），表示探测器收到了极强的噪声，噪声随着时间呈现了倾斜向上的趋势。图10根据所示三个时间点进行分析说明。
Figure 10. Analysis on the transmitting/echo signal overlapping
在数据采集时段内转镜转速一直在调整过程中，通过之前的模拟，转速调整是可视作将重叠区域相对于TOF曲线进行移动。在t1时刻重叠区域移动到了当前TOF点上，发生了重叠现象，探测器接收到主波的强烈杂散光；在t2时，由于转速持续在调整，重叠区域保持在移动，与TOF的相对位置逐渐变化，在屏幕上造成了噪点随时间缓慢向上的形状，此时TOF也一直处在重叠区域内；到了t3时刻，TOF逐渐脱离重叠区域。在红框后方，由于避开了主回波重叠的时段，采集端接收到的噪声水平恢复正常。转速的改变引起了重叠区域上下限的变动，使其在时间轴上产生偏移，于是造成了白点区域缓慢向上移动的情况。
转速的适量调整可避开主回波重叠，从而可以根据预报对重叠进行提前预判，并在适当时刻进行转速的微调，减少重叠对实验的影响。
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文中根据采用转镜的共光路百赫兹激光测月中的主回波重叠现象开展了研究，对信号时序进行了理论计算分析，并采用整体模拟与分段模拟两种方法对主回波重叠现象进行了模拟，得出了测距时段内出现主回波重叠的情况。通过对主回波重叠成因进行分析，研究了改变转镜转速对回避主回波重叠的作用，并在实际观测中验证其效果，对于今后激光测月系统的设计具有许多参考价值。
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