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在常见的直角坐标系中,有关角度的量并不会直接出现在坐标系中,而需要通过一定的公式计算获得。与之相对应,极坐标系以及球坐标系中,角度信息分别被用于直接描述二维平面和三维空间中目标的位置。极坐标系和球坐标系如图1所示。极坐标中,目标的位置用
$(R,\theta )$ 表示,其中$\theta $ 表示方位角;而在球坐标系中,目标位置用$(R,\theta ,\phi )$ 表示,$\theta $ 和$\phi $ 分别表示俯仰角和方位角。极坐标系
$(R,\theta )$ 与直角坐标系$(x,y)$ 的转换关系如下所示:球坐标系
$(R,\theta ,\phi )$ 与直角坐标系$(x,y,{\textit{z}})$ 的转换关系如下所示:从公式(1)和(2)中可以看出,不管是在极坐标系中求解
$(x,y)$ 还是球坐标系中求解$(x,y,{\textit{z}})$ ,距离$R$ 都是必须给出的。但是在纯角度传感器中,距离信息无法给出。因此,当前纯角度传感器主要应用于两个方面:一是与其他能够测距的传感器协同工作,根据所得到的距离一起完成跟踪,这对应用背景有很大的限制;二是主要关注目标的有无问题,核心在于目标是否存在。纯角度跟踪问题,就需要在只获得了角度信息的前提下,完成目标跟踪。
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伯努利滤波器首先由Mahler在2007年提出[11],也被称为联合目标检测跟踪(joint target detection and tracking,JOTT)滤波器,其理论基础是随机有限集(random finite set,RFS)。作为贝叶斯框架内的最优单目标滤波器,伯努利滤波器传递完整的概率密度函数,在递归过程中传递目标存在概率和目标后验概率密度函数。
伯努利滤波器与其他贝叶斯滤波器一致,滤波过程也分为预测步和更新步。在文中滤波器中,
$k$ 时刻为前一时刻,$k{\rm{ + }}1$ 时刻为当前时刻。滤波器滤波的过程,就是根据前一时刻的目标状态和当前时刻的观测估计当前时刻的目标状态。下标$k|k$ 表示前一时刻的后验信息,同时也是当前时刻的先验信息。$k{\rm{ + }}1|k$ 表示预测步的信息,而$k{\rm{ + }}1|k{\rm{ + }}1$ 表示当前时刻的后验信息,在下一时刻的滤波中,这又是先验信息。滤波器具体如下[11]:预测步为:
更新步为:
其中用到的具体参数和符号说明如表1所示。
Symbol Description ${p_b}$ The newborn probability of the target ${b_{k{\rm{ + 1}}|k}}({{x}})$ The probability density function of the newborn target ${p_s}$ The existence probability of the target (not related to the target state in this paper) ${f_{k{\rm{ + 1}}|k}}({{x}}|{{x}}')\;\;$ The Markov transition density of the target ${p_{k|k}}$ The priori probability of existence ${f_{k|k}}({{x}}')$ The priori probability density function $\kappa (Z)$ The probability density function of the clutter ${Z_{k{\rm{ + 1}}}}$ The current measurement set ${p_D}({{x}})$ The target detection probability ${L_{{\textit{z}}}}({{x}}) = f({{\textit{z}}}|{{x}})$ The measurement likelihood function Table 1. Symbol description of the Bernoulli filter
为了便于计算,研究人员提出了许多伯努利滤波器的改进形式。若杂波过程可由泊松RFS建模,且其均值为
$\lambda $ ,空间分布为$c({{\textit{z}}})$ ,即杂波概率密度函数为$\kappa (Z) = {{\rm e}^{ - \lambda }}\displaystyle\prod\limits_{{{\textit{z}}} \in Z} {\lambda c({{\textit{z}}})}$ ,因此有则更新步可以表示为:
其中
${l_{k + 1}}({Z_{k + 1}}|{{x}}) = 1 - {p_D}({{x}}) + {p_D}({{x}})\displaystyle\sum\limits_{{{\textit{z}}} \in {Z_{k + 1}}} {\frac{{f({{\textit{z}}}|{{x}})}}{{\lambda c({{\textit{z}}})}}}$ 。 -
文中提出的纯角度跟踪伯努利滤波器,与参考文献[19]中所提出的用于纯角度跟踪的伯努利滤波器的区别,主要在于所使用的状态矢量不一致。参考文献[19]使用传统的目标坐标和速度作为状态矢量,文中直接使用目标相对于传感器的角度以及角度变化率作为状态矢量。因此,实际上文中的状态矢量是可求的,而参考文献[19]中的滤波器必须借助其他距离信息求解状态矢量。
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为了计算简洁且不失一般性,文中用滤波器实现二维运动目标的跟踪,即所采用的坐标系为极坐标系。目标状态矢量为
${x_k} = {[\theta ,\dot \theta ]^{\rm T}}$ ,其中$\theta $ 表示方位角,$\dot \theta $ 表示方位角的变化率。若采样间隔为
$T$ ,则目标运动模型可表示如下:其中
式中:
${w_k}$ 表示过程噪声。根据公式(10),可得此时的状态转移函数
${f_{k{\rm{ + 1}}|k}}({{x}}|{{x}}')$ ,然后根据伯努利滤波器的预测步计算预测概率密度函数和预测目标存在概率。 -
传感器获得的观测量只有角度信息,因此观测矢量可以表示为
${{\textit{z}}_k} = \theta $ 。此时的观测过程可以表示为:式中:
${w_\theta }$ 表示角度上零均值高斯白噪声。根据公式(13)可得此时的观测似然
${L_{{\textit{z}}}}({{x}}) = $ $ f({{\textit{z}}}|{{x}})$ ,然后根据伯努利滤波器的更新步计算后验概率密度函数。 -
伯努利滤波器中包含了集积分,在具体执行过程中,需要计算不可积函数的高维积分,计算复杂且一般难以获取其解析形式。目前解决此类问题主要包括两种方法:一是高斯混合(Gaussian mixture,GM)实现方法;二是粒子滤波实现方法。文中采用粒子滤波实现方法近似实现纯角度跟踪伯努利滤波器。伯努利滤波器的粒子滤波实现在2012年首先由Ba-Tuong Vo等人提出[20]。
粒子滤波实现的核心工作是使用带有权重的粒子集
$\{ {{x}}_k^n,w_k^n\} _{n = 1}^{{N_S}}$ 近似概率密度函数,相应的近似可以表示为:伯努利滤波器的粒子滤波实现形式主要包括状态预测、观测更新、粒子重采样及目标状态估计四个部分。具体实现过程如下所示。
1)预测步
预测概率密度函数可以通过粒子近似表示为:
其中,
预测权重为:
2)更新步
若杂波过程为泊松分布,则更新步可由公式(8))和(9)表示。其中对于每一个粒子
${{x}}_{k + 1|k}^n$ ,似然比${l_{k + 1}}({Z_{k + 1}}|{{x}}_{k + 1|k}^n)$ 为:根据公式(15)所示的预测概率密度函数的粒子近似,后验存在概率可以近似表示为:
后验概率密度函数可以近似表示为:
若将
$k + 1$ 时刻的后验概率密度函数通过粒子近似表示为:则权重可以近似表示为:
对权重进行归一化,可得带权重粒子集
$\{ {{x}}_{k{\rm{ + 1}}|k}^n,\bar w_{k{\rm{ + }}1}^n\} _{n = 1}^{{N_S} + {N_B}}$ 。3)重采样
采用经典方法完成重采样,从粒子集
$\{ {{x}}_{k{\rm{ + 1}}|k}^n,\bar w_{k{\rm{ + }}1}^n\} _{n = 1}^{{N_S} + {N_B}}$ 获得$k + 1$ 时刻的后验概率密度函数近似粒子集$\{ {{x}}_{k + 1}^n,w_{k + 1}^n\} _{n = 1}^{{N_S}}$ 。后验概率密度函数近似表示为:这一后验概率密度函数也就是
$k + 2$ 时刻的先验概率密度函数。伯努利滤波器是一个递归滤波器,每一步的后验概率密度函数都作为下一步的先验概率密度函数,按时间顺序完成每一时刻的目标状态估计。4)状态估计
如果后验存在概率大于0.5,则认为目标存在,对获得的后验概率密度函数近似粒子集中的所有粒子求平均获得目标状态
${{\hat{ x}}_{k + 1}}$ 。纯角度跟踪伯努利滤波器的PF实现伪代码如表2所示。
Algorithm 1. PF implementation of the bearings-only tracking Bernoulli filter (1) Input: The priori probability of existence ${p_{k|k}}$, particle set $\{ {{x}}_k^n,w_k^n\} _{n = 1}^{{N_S}}$, measurement set ${Z_{k + 1}}$ (2) Calculate the predicted probability of existence by (3). (3) Draw a sample for the particle set by (16), and calculate the predicted weights by (17) (4) Compute the likelihood ratio using (18) (5) Compute the posterior probability density function using (19) (6) Compute the posterior weights using (20) and normalize the weights (7) Resample and target state estimation (8) Output: The posterior probability of existence ${p_{k{\rm{ + }}1|k{\rm{ + }}1}}$, particle set $\{ {{x}}_{k + 1}^n,w_{k + 1}^n\} _{n = 1}^{{N_S}}$, target state ${{\hat{ x}}_{k + 1}}$ Table 2. Algorithm 1
Application of Bernoulli filter in bearings-only tracking scenarios
doi: 10.3788/IRLA20200343
- Received Date: 2020-10-05
- Rev Recd Date: 2020-11-20
- Available Online: 2021-02-07
- Publish Date: 2021-02-07
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Key words:
- bearings-only sensor /
- bearings-only tracking /
- Bernoulli filter /
- particle filter
Abstract: The sensor whose information only contains angle information is called bearings-only sensor, and the target tracking based on bearings-only sensor is called bearings-only tracking (BOT). BOT is an important topic in the field of target tracking and will play an important role in passive target tracking surveillance. Bernoulli filter (BF) is the best single target filter within the Bayesian framework. It can obtain the existence probability of the target and the complete posterior probability density function, and judge the appearance and disappearance of the target. The Bernoulli filter was applied to single target tracking in the bearings-only tracking surveillance, and a bearings-only tracking Bernoulli filter was proposed. In the proposed filter, the angle of the target relative to the sensor and its change rate were used as the state vectors to estimate the existence of the target as well as the target state. At the same time, the particle filter (PF) implementation was proposed, too. The simulation results show that, compared with the ordinary Bernoulli filter, the proposed bearings-only tracking Bernoulli filter can judge the existence of the target better, and the error of the target estimation generated by the filter is smaller. Thus, the proposed filter has better tracking performance and higher tracking accuracy, which can be effectively applied to the passive tracking scenarios.