Linear constraint approach for calibrating distance of base point in laser tracking interferometer system

工业机器人在现代社会中的应用越来越广泛，在汽车制造、航空航天、医疗卫生等领域都有着举足轻重的地位^[1-4]；医用机器人的绝对定位精度在亚毫米级别，某些场合中装配机器人的绝对定位精度要达到0.01 mm以下，然而由于工业机器人在生产制造过程中存在加工误差及装配误差，在未经标定的情况下其绝对定位精度一般在0.5~10 mm。因此需要对机器人的DH参数进行标定，使其能够达到与其任务相匹配的精度水平。

在基于距离误差模型的工业机器人DH参数标定工作中，需要获取机器人末端到测量设备的绝对距离。现阶段，往往使用激光跟踪仪进行测量工作^[5-7]，然而激光跟踪仪作为通用测量设备，其功能齐全、操作复杂、价格昂贵，因此亟需一种低成本、操作简单的高精度机器人标定专用设备。目前，国内外学者主要使用激光干涉跟踪测量技术^[8-10]进行高精度测量，采用干涉测量技术对机器人的DH参数误差进行标定。在测量过程中需要一个基点来实现绝对距离测量，基点与干涉测量设备的距离称为基点距离。

为了准确地测量出基点距离，美国佛罗里达大西洋大学的Motaghedi S H设计了约束平面法来求解基点坐标^[11-12]，但是难以获得高精度的约束平面制约了平面约束方法的标定精度；天津大学的张亚娟提出了基于球面约束的基点标定方法 ^[13-14]，球面约束利用三坐标机和球杆仪作为测量工具，系统复杂不具有灵活性；天津大学的李杏华^[15]提出了基于直线约束的标定方法，该方法利用余弦定理构建约束关系对基点距离进行标定，约束直线需要过基点，受到基点的制约；北方民族大学的周春燕^[16]提出了基于双线法的基点标定方法，这种方法需要安装两条严格正交的导轨，这在操作上有一定的难度。

为了实现对激光跟踪干涉系统(LTIS)基点距离的准确标定，解决现有基点标定约束关系复杂、对约束要求精度高、引入误差源多等问题，文中提出了一种激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法，约束直线无需过基点，利用点与点之间的距离关系构建约束方程，可以直接解算激光跟踪干涉系统的基点距离；经分析发现，该方法的参数设置会影响标定精度，文中对各项参数进行了数值仿真分析，以减小标定误差。该方法在标定过程中只使用了激光干涉测量的位移信息，具有标定方法简单、引入误源差少、测量精度高的特点。对基点距离进行标定后的激光跟踪干涉系统可以进行机器人DH参数误差的标定工作。

在基于距离误差模型的工业机器人DH参数标定工作中，工业机器人末端测量方案如图1所示， A为激光跟踪干涉系统的位置，B为工业机器人末端执行器的位置，C为基点靶座，l₀为基点距离(Distance of base point, DBP)。激光跟踪干涉系统只有干涉测量模块和跟踪模块，仅能测量出机器人末端B相对于基点C的距离变化量Δl。若已知基点距离l₀，就可以确定机器人末端B与激光跟踪干涉系统位置A的绝对距离。在该系统中，基点距离l₀是影响绝对测距精度的主要因素之一，并且不需要求解激光跟踪干涉系统位置A的坐标，只需计算l₀的长度。

与文献[15]相比，文中方法主要有以下两点不同：1) 约束关系的构建方式方面，该方法通过三角形利用余弦定理构建约束方程，文中利用两点之间的距离关系构建约束方程；2) 约束直线方面，该方法选取的约束直线需要通过测量初始点，即文中的基点，对约束直线形成制约，文中提出的方法约束直线不需要通过基点，对约束直线选取没有限制。

Figure 1.  Measurement scheme of robot calibration

激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法原理如图2所示，约束直线长度为L，激光跟踪干涉系统与约束直线的距离为d，P₀为激光跟踪干涉系统的位置，B为基点，P_i为第i个约束点，l_i第i个约束点P_i相对于基点的距离变化，l₀为基点距离。以约束直线作为x轴，激光干涉仪的测量初始点P₁为原点建立坐标系。约束点P_i(x_i, y_i, z_i)均匀分布在x轴上。根据几何关系可得约束方程：

第i个点和第i+1个点的约束方程为：

式中：x_i为第i个约束点的x坐标；y_i为第i个约束点的y坐标；z_i为第i个约束点的z坐标；l₀为基点距离；l_i为第i个约束点与基点的距离变化。

Figure 2.  DBP calibration method based on linear constraint

将公式(2)中的两式相减，可得：

非线性约束方程(1)转化为线性约束方程(3)。约束点都在x轴上，所以方程(3)可以简化为：

根据最小二乘法的基本原理^[17]解出基点距离l₀和激光跟踪干涉系统的横坐标x₀。

设约束点数量为N，公式(4)可以写成矩阵形式：

其中，

根据公式(5)可知相邻约束点之间的间距过小或者当激光干涉仪测得相邻两约束点的l_i差别不大时，系数矩阵A的第二列是一个微小变化量，使得最小二乘法的系数矩阵变为如下形式：

式中：δ_ij是一个微小量。公式(5)可写为：

所以，

其中，A^TA的表达式为：

其中，

相邻两约束点之间距离越近，相邻两约束点之间的l_i与l_i+1差别越小，公式(9)表明A^TA矩阵条件数就越大，使得基点距离的标定误差变大。因此在使用基点的直线约束标定模型时，约束点需要在约束直线上分散开，使相邻约束点之间的l_i有显著的变化。

在对基点的标定过程中，约束直线长度为L、激光跟踪干涉系统与约束直线的距离为d、 L与d的比值、约束点个数N、激光跟踪干涉系统位置P₀均会影响标定精度，因此需要分别研究这些参数对标定结果的影响，使用计算机仿真软件对各影响参数进行仿真实验，根据仿真结果选择合适的参数，仿真环境与参数如表1所示。

1) L/d对标定精度的影响

为了探究L与d之间的比值对标定精度的影响，仿真参数按照表1设置，选取约束点数量N=20，令L/d的值从0.5~4之间变化，计算标定误差。标定误差的计算方法如公式(10)所示：

式中：e为标定误差；D_cali为标定后的基点距离；D_real为仿真中基点距离的真值。

标定误差与L/d的关系如图3所示，当0.5≤L/d≤2时，标定误差随着比值的增大从0.035 mm降至0.0025 mm，当L/d > 2时标定误差减小缓慢，继续增大L/d对减小标定误差的意义不大。所以结L与d的比值应控制在1.5~2之间，这里选择L/d = 2。

Figure 3.  Calibration error in different values of L/d

2)约束点数量N对标定精度的影响

为了分析约束点数量N对基点标定精度的影响，根据1)中的仿真结果，确定约束直线长度L=3400 mm，激光跟踪干涉系统与约束直线的距离d=1700 mm，且位于约束直线的垂直平分线上。其余参数同表1，在约束直线上均匀等间选取约束点，约束点的数量N从10~80个点变化，分别计算标定误差与约束点个数的皮尔逊相关系数r，以此衡量约束点个数与标定误差的相关性。一般情况下，皮尔逊系数|r| < 0.3则认为他们没有相关性，仿真得到的皮尔逊相关系数r=0.045，所以当约束点大于10个之后，理论上约束点个数并不影响标定结果。为了保证结果的准确性与稳定性，采用了20个约束点进行实验和仿真。

3)激光跟踪干涉系统的位置P₀对标定精度的影响

为了研究激光跟踪干涉系统在x轴方向上的位置对标定精度的影响，选取约束点数量N=20个，约束直线长度L = 3400 mm，激光跟踪干涉系统与约束直线的距离d=1700 mm，激光跟踪干涉系统的x坐标沿约束直线方向变化，仿真结果如图4所示，当激光跟踪干涉系统位置的x坐标在1700 mm附近时，标定误差有最小值，即约束点要相对于激光跟踪干涉系统对称分布。

Figure 4.  Influence of LTIS position on calibration error

根据优化分析结果，结合实际实验条件，文中使用如下参数进行基点标定：约束直线长度为3400 mm，激光跟踪干涉系统与约束直线的垂直距离为1700 mm；约束点数量为20个，激光跟踪干涉系统放置在约束直线的垂直平分线附近，使约束点关于激光跟踪干涉系统大致对称分布。

搭建实验系统对激光跟踪干涉系统的基点距离进行标定，如图5所示。雷尼绍XL80干涉仪7固定在气浮导轨4一端，调节角锥棱镜6与雷尼绍XL80干涉仪下的4维平台使XL80干涉仪准直。激光跟踪干涉系统2放置在气度导轨的垂直平分线附近，激光跟踪干涉系统与气浮导轨的距离为1700 mm。控制气浮导轨、激光跟踪干涉系统和雷尼绍XL80干涉仪示数归零。然后将目标靶镜5利用磁吸底座固定在基点靶座3上，使能激光跟踪干涉系统跟踪目标靶镜，将靶镜移动到气浮导轨上开始测量。

Figure 5.  Experimental system of DBP calibration

约束直线长度L=3400 mm，约束点个数N=20，激光跟踪干涉系统与约束直线的垂直距离d=1700 mm，激光跟踪干涉系统的位置在约束直线的垂直平分线附近，重复测量5次。实验结果如表2所示，激光跟踪干涉系统的基点距离平均值为290.0764 mm。

由于测量误差传播，最小二乘估计量的标准差取决于测量数据的标准差，由于每次测量的误差不同，这5次测量得到的最小二乘估计量的标准差也不同。根据最小二乘法的精度估计理论，可以求出每次测量中最小二乘估计量l₀的标准差$ \sigma_{b_{0}} $。5次测量为不等精度测量，根据算数平均值原理，可以确定每组数据的权重$ p_{i} $，求出加权平均值$\overline l_0 $和加权平均值的标准差$ \sigma_{{\overline l_0}} $，经过计算，每次测量的标准差、权重、加权平均值和加权平均值的标准差如表3所示，激光跟踪干涉系统基点距离的平均值为29.0764 mm，算数平均值的标准差为4.4 μm。

为了验证激光跟踪干涉系统基点距离标定结果的准确性，使用文中标定方法对API radian跟踪仪的基点距离进行标定，并与其标称值进行比较。约束直线长度L=3400 mm约束点数量N=20，API radian跟踪仪放置在约束直线的垂直平分线附近，API radian跟踪仪与约束直线的垂直距离d=1700 mm。实验系统如图6所示。对基点距离进行5次标定，取其加权平均值并计算加权平均值的标准差。API基点距离的标称值为154.1910 mm，标定结果如表4所示。对API跟踪仪的基点距离标定的结果为154.1940 mm，与其标称值相差3 μm。API 的全程3D空间精度为 10 μm+5 μm/m，实验结果表明，激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法可以准确地对基点距离进行标定。

Figure 6.  (a) Air refractive index compensation; (b) The verification experimental system of calibration; (c) API tracker

文中提出了一种激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法，该方法在标定中仅使用了激光干涉仪与导轨，具有原理简单、精度高、误差源少的特点；分析了标定方法中各参数对基点距离标定精度的影响，确定了合适的约束直线长度L、激光跟踪干涉系统与约束直线的距离d、约束点个数N、激光跟踪干涉系统的位置P₀，减小标定误差。

利用激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法对激光跟踪干涉系统的基点进行标定，该方法标定的激光跟踪干涉系统的基点距离的平均值为$\overline l_0 $=290.0764 mm，标准差为4.4 μm，对API radian跟踪仪的基点距离进行标定来验证标定结果的准确性，与标称值相比误差为3 μm。因此，文中激光跟踪干涉系统基点的直线约束标定方法标定出的基点距离精度满足工业机器人的标定需求，对工业机器人发展具有重要的意义。